উত্তরঃ
উদ্দীপকের উল্লিখিত ভরের পরিমাণ কমিয়ে 2kg করা হলে তারটির ব্যাসার্ধে যে পরিবর্তন হবে, তা মূলত পদার্থের স্থিতিস্থাপকতা ধর্ম এবং পয়সনের অনুপাত (Poisson's ratio)-এর উপর নির্ভরশীল। তারে টান প্রয়োগ করলে তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায় এবং প্রস্থচ্ছেদ কমে যায় (ব্যাসার্ধ হ্রাস পায়)। একইভাবে, টান কমালে দৈর্ঘ্য হ্রাস পায় এবং প্রস্থচ্ছেদ বৃদ্ধি পায় (ব্যাসার্ধ বৃদ্ধি পায়)। নিম্নে এর গাণিতিক বিশ্লেষণ করা হলো:
ধরি,
- তারটির আদি ব্যাসার্ধ = \(r_0\)
- তারটির আদি দৈর্ঘ্য = \(L_0\)
- তারটির উপাদানের ইয়ং গুণাঙ্ক (Young's modulus) = \(Y\)
- তারটির উপাদানের পয়সনের অনুপাত (Poisson's ratio) = \(\sigma\)
- উদ্দীপকে উল্লিখিত আদি ভর = \(m_1\)
- ভর কমানোর পর চূড়ান্ত ভর = \(m_2 = 2 \text{kg}\)
- অভিকর্ষজ ত্বরণ = \(g\)
১. অনুদৈর্ঘ্য পীড়ন ও বিকৃতি (Longitudinal Stress & Strain):
তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A_0 = \pi r_0^2\)
যদি তারে \(F\) বল প্রয়োগ করা হয়, তবে অনুদৈর্ঘ্য পীড়ন (Longitudinal stress) হবে:
\[ \text{পীড়ন} = \frac{F}{A_0} \]
ইয়ং গুণাঙ্কের সংজ্ঞা অনুযায়ী, অনুদৈর্ঘ্য বিকৃতি (Longitudinal strain) হবে:
\[ \text{দৈর্ঘ্য বিকৃতি} \ (\epsilon_L) = \frac{\text{পীড়ন}}{Y} = \frac{F}{A_0 Y} \]
২. পার্শ্বীয় বিকৃতি ও ব্যাসার্ধের পরিবর্তন (Lateral Strain & Change in Radius):
পয়সনের অনুপাত (\(\sigma\)) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[ \sigma = -\frac{\text{পার্শ্বীয় বিকৃতি}}{\text{দৈর্ঘ্য বিকৃতি}} = -\frac{\Delta r / r_0}{\Delta L / L_0} \]
যেখানে, \(\Delta r\) হলো ব্যাসার্ধের পরিবর্তন এবং \(\Delta L\) হলো দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন।
সুতরাং, পার্শ্বীয় বিকৃতি (Lateral strain) হবে:
\[ \text{পার্শ্বীয় বিকৃতি} \ (\epsilon_r) = \frac{\Delta r}{r_0} = -\sigma \times \text{দৈর্ঘ্য বিকৃতি} \ (\epsilon_L) \]
\[ \frac{\Delta r}{r_0} = -\sigma \frac{F}{A_0 Y} \]
অতএব, বল \(F\) প্রয়োগের ফলে ব্যাসার্ধের পরিবর্তন \(\Delta r\) হবে:
\[ \Delta r = -r_0 \sigma \frac{F}{A_0 Y} = -r_0 \sigma \frac{F}{\pi r_0^2 Y} = -\frac{\sigma F}{\pi r_0 Y} \]
৩. আদি ভরের জন্য ব্যাসার্ধের পরিবর্তন (Change in Radius for Initial Mass \(m_1\)):
আদি ভর \(m_1\) দ্বারা তারে প্রযুক্ত বল \(F_1 = m_1 g\)।
এই বলের কারণে ব্যাসার্ধের পরিবর্তন \(\Delta r_1\) হবে:
\[ \Delta r_1 = -\frac{\sigma F_1}{\pi r_0 Y} = -\frac{\sigma m_1 g}{\pi r_0 Y} \]
আদি ভর \(m_1\) এর অধীনে তারটির ব্যাসার্ধ \(r_1 = r_0 + \Delta r_1 = r_0 - \frac{\sigma m_1 g}{\pi r_0 Y}\)
৪. 2kg ভরের জন্য ব্যাসার্ধের পরিবর্তন (Change in Radius for Final Mass \(m_2 = 2 \text{kg}\)):
ভর কমিয়ে \(m_2 = 2 \text{kg}\) করা হলে, তারে প্রযুক্ত বল \(F_2 = m_2 g = 2g\)।
এই বলের কারণে ব্যাসার্ধের পরিবর্তন \(\Delta r_2\) হবে:
\[ \Delta r_2 = -\frac{\sigma F_2}{\pi r_0 Y} = -\frac{\sigma (2g)}{\pi r_0 Y} \]
2kg ভরের অধীনে তারটির ব্যাসার্ধ \(r_2 = r_0 + \Delta r_2 = r_0 - \frac{\sigma (2g)}{\pi r_0 Y}\)
৫. ব্যাসার্ধের মোট পরিবর্তন (Net Change in Radius):
আদি ভর থেকে ভর কমিয়ে 2kg করা হলে তারটির ব্যাসার্ধের পরিবর্তন হবে \(\Delta r_{\text{মোট}} = r_2 - r_1\):
\[ \Delta r_{\text{মোট}} = \left( r_0 - \frac{\sigma (2g)}{\pi r_0 Y} \right) - \left( r_0 - \frac{\sigma m_1 g}{\pi r_0 Y} \right) \]
\[ \Delta r_{\text{মোট}} = -\frac{2\sigma g}{\pi r_0 Y} + \frac{\sigma m_1 g}{\pi r_0 Y} \]
\[ \Delta r_{\text{মোট}} = \frac{\sigma g}{\pi r_0 Y} (m_1 - 2) \]
৬. বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত (Analysis and Conclusion):
উপরিউক্ত সমীকরণ থেকে দেখা যায়, ব্যাসার্ধের পরিবর্তন \(\Delta r_{\text{মোট}}\) এর মান নির্ভর করে \(m_1 - 2\) এর উপর।
- যদি উদ্দীপকে উল্লিখিত আদি ভর \(m_1 > 2 \text{kg}\) হয় (যা "কমিয়ে 2kg করা হলে" বাক্য দ্বারা নির্দেশিত), তাহলে \(m_1 - 2\) এর মান ধনাত্মক হবে।
- যেহেতু \(\sigma\), \(g\), \(\pi\), \(r_0\) এবং \(Y\) এর মান ধনাত্মক, তাই \(\Delta r_{\text{মোট}}\) এর মানও ধনাত্মক হবে।
সুতরাং, ভরের পরিমাণ কমিয়ে 2kg করা হলে তারটির ব্যাসার্ধ বৃদ্ধি পাবে। ব্যাসার্ধ বৃদ্ধির পরিমাণ হবে \(\frac{\sigma g}{\pi r_0 Y} (m_1 - 2)\)।
