তিনটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ: $\frac{x}{x+y}, \frac{x}{x-4y}, \frac{y}{x^2-3xy-4y^2}$

তৃতীয় ভগ্নাংশের হর$$= x^2 - 3xy - 4y^2$$

$$= x^2 - 4xy + xy - 4y^2$$

$$= x(x - 4y) + y(x - 4y) = (x - 4y)(x + y)$$

১ম ভগ্নাংশের হর$=x+y$

২য় ভগ্নাংশের হর = $=x-4y$

ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু. = $(x + y)(x - 4y)$

১ম ভগ্নাংশ$=\frac{x}{x+y}=\frac{x(x-4y)}{(x+y)(x-4y)}$

[লব ও হরকে (x - 4y) দ্বারা গুণ করে]

২য় ভগ্নাংশ $=\frac{x}{x-4y}=\frac{x(x+y)}{(x+y)(x-4y)}$

[লব ও হরকে (x + y) দ্বারা গুণ করে]

$\therefore$১ম ও ২য় ভগ্নাংশের সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ যথাক্রমে $$\frac{x(x - 4y)}{(x + y)(x - 4y)} \quad \text{এবং} \quad \frac{x(x + y)}{(x + y)(x - 4y)}$$

ভগ্নাংশ তিনটির যোগফল$=\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x-4y}+\frac{y}{x^2-3xy-4y^2}$

$$= \frac{x}{x + y} + \frac{x}{x - 4y} + \frac{y}{x^2 - 4xy + xy - 4y^2}$$

$$= \frac{x}{x + y} + \frac{x}{x - 4y} + \frac{y}{x(x - 4y) + y(x - 4y)}$$

$$= \frac{x}{x + y} + \frac{x}{x - 4y} + \frac{y}{(x - 4y)(x + y)}$$

$$= \frac{x(x - 4y) + x(x + y) + y}{(x + y)(x - 4y)}$$

$$= \frac{x^2 - 4xy + x^2 + xy + y}{(x + y)(x - 4y)} = \frac{2x^2 - 3xy + y}{(x + y)(x - 4y)}$$

নির্ণেয় যোগফল $=\frac{2x^2-3xy+y}{(x+y)(x-4y)}$

দেওয়া আছে,

$$B = \frac{2}{x^2 + 5x + 6}$$

ভগ্নাংশটির হর

$$= x^2 + 5x + 6$$

$$= x^2 + 2x + 3x + 6$$

$$= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)$$

দেওয়া আছে, $A=\frac{1}{x^2+3x},B=\frac{2}{x^2+5x+6}$এবং $C=\frac{3}{x^2-x-12}$

A ভগ্নাংশের হর  $=x^2+3x=x(x+3)$

B ভগ্নাংশের হর   [ক-হতে প্রাপ্ত]

C ভগ্নাংশের হর 

$\therefore$ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু. = x(x + 2)(x + 3)(x - 4)

$A=\frac{1}{x^2+3x}=\frac{1}{x(x+3)}$

$=\frac{1\times (x+2)(x-4)}{x(x+3)\times (x+2)(x-4)}$

[লব ও হরকে (x + 2) (x-4) দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{2\times x(x-4)}{(x+2)(x+3)\times x(x-4)}$ [লব ও হরকে x(x - 4) দ্বারা গুণ করে]

এবং$C=\frac{3}{x^2-x-12}=\frac{3}{(x+3)(x-4)}$

$=\frac{3\times x(x+2)}{(x+3)(x-4)\times x(x+2)}$ [লব ও হরকে x(x + 2) দ্বারা গুণ করে]

নির্ণেয় সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ: $A=\frac{(x+2)(x-4)}{x(x+2)(x+3)(x-4)},B=\frac{2x(x-4)}{x(x+2)(x+3)(x-4)}$এবং $C=\frac{3x(x+2)}{x(x+2)(x+3)(x-4)}$

দেওয়া আছে, $A=\frac{1}{x^2+3x}=\frac{1}{x(x+3)}$

$B=\frac{2}{x^2+5x+6}=\frac{2}{(x+2)(x+3)}$ [খ-হতে প্রাপ্ত]

এবং  $C=\frac{3}{x^2-x-12}=\frac{3}{(x+3)(x-4)}$ [খ-হতে প্রাপ্ত]

প্রদত্ত রাশি  $=A+B-C=\frac{1}{x(x+3)}+\frac{2}{(x+2)(x+3)}-\frac{3}{(x+3)(x-4)}$

$=\frac{1\times (x+2)(x-4)+2\times x(x-4)-3\times x(x+2)}{x(x+2)(x+3)(x-4)}$

$$= \frac{x^2 - 4x + 2x - 8 + 2x^2 - 8x - 3x^2 - 6x}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$$

$$= \frac{3x^2 - 3x^2 - 18x + 2x - 8}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$$

$$= \frac{-16x - 8}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)} = \frac{-8(2x + 1)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$$

নির্ণেয় সরল মান: $$\frac{-8(2x + 1)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$$