তিনটি ভেক্টর যথাক্রমে $\overrightarrow{A}=9\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}; \overrightarrow{B}=4\hat{i}-6\hat{j}+5\hat{k}$  এবং $\overrightarrow{V}=3xy{z}^2\hat{i}+2x{y}^2\hat{j}-x^3{y}^{2}z\hat{k}.$ 

অবস্থান ভেক্টর (position vector) হলো এমন একটি ভেক্টর যা মূলবিন্দু (origin) থেকে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করে। এটি একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর কারণ এর পাদবিন্দু (tail) সর্বদা মূলবিন্দুতে স্থির থাকে এবং নড়াচড়া করতে পারে না।

যেকোনো কণার অবস্থান মূলবিন্দুর সাপেক্ষে নির্দেশ করার জন্যই অবস্থান ভেক্টর ব্যবহার করা হয়। যেহেতু এর পাদবিন্দু সর্বদা মূলবিন্দুতে স্থির থাকে এবং কেবল অগ্রবিন্দু (head) চলমান বিন্দুর অবস্থান বোঝায়, তাই এটি স্বাধীনভাবে যেকোনো স্থানে শুরু হতে পারে না। এই নির্দিষ্ট পাদবিন্দুর কারণেই এটিকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলা হয়।

একটি ভেক্টর ক্ষেত্র (Vector Field) এর ডাইভারজেন্স (Divergence) হলো একটি স্কেলার রাশি যা কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রটির 'প্রসারণ' বা 'সংকোচন' এর হার নির্দেশ করে। গাণিতিকভাবে, একটি ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{F} = F_x\hat{i} + F_y\hat{j} + F_z\hat{k}\) এর ডাইভারজেন্সকে \(\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টর ক্ষেত্রটি হলো: $\overrightarrow{V}=3xy{z}^2\hat{i}+2x{y}^2\hat{j}-x^3{y}^{2}z\hat{k}$। এই ভেক্টর ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স নির্ণয় করার জন্য আমরা প্রতিটি উপাদানের (component) আংশিক অন্তরক (partial derivative) নির্ণয় করে যোগ করব:

এখানে, \(F_x = 3xyz^2\), \(F_y = 2xy^2\), এবং \(F_z = -x^3y^2z\)।

\(\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3xyz^2) = 3yz^2\)

\(\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy^2) = 2x(2y) = 4xy\)

\(\frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-x^3y^2z) = -x^3y^2\)

সুতরাং, ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{V}\) এর ডাইভারজেন্স হলো: \(\nabla \cdot \vec{V} = 3yz^2 + 4xy - x^3y^2\)।

এখন, প্রশ্নানুযায়ী (1,-1, 1) বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{V}\) এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় করতে হবে। এই বিন্দুতে \(x = 1, y = -1, z = 1\) মান বসিয়ে পাই:

\(\nabla \cdot \vec{V} = 3(-1)(1)^2 + 4(1)(-1) - (1)^3(-1)^2\)

\(\nabla \cdot \vec{V} = 3(-1)(1) + 4(1)(-1) - (1)(1)\)

\(\nabla \cdot \vec{V} = -3 - 4 - 1\)

\(\nabla \cdot \vec{V} = -8\)

সুতরাং, (1,-1, 1) বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{V}\) এর ডাইভারজেন্স হলো -8।

একটি বৃত্তের পরিধির উপর অঙ্কিত স্পর্শক সবসময় স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়। অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ ভেক্টর এবং স্পর্শক ভেক্টর পরস্পর লম্ব হবে। দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল (স্কেলার গুণফল) শূন্য হয়। প্রদত্ত উদ্দীপকে, ভেক্টর \(\vec{A}\) যদি বৃত্তের ব্যাস নির্দেশ করে এবং ভেক্টর \(\vec{B}\) যদি ঐ বৃত্তের স্পর্শক নির্দেশ করে, তাহলে \(\vec{A}\) এর দিক বরাবর একটি ব্যাসার্ধ ভেক্টর \(\vec{B}\) এর উপর লম্ব হবে। গাণিতিকভাবে এই শর্ত যাচাই করে আমরা মতামত প্রদান করতে পারি।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরগুলো হলো:

\(\vec{A} = 9\hat{i} + \hat{j} - 6\hat{k}\)

\(\vec{B} = 4\hat{i} - 6\hat{j} + 5\hat{k}\)

যদি \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) পরস্পর লম্ব হয়, তবে তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে। আমরা \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) ভেক্টরের ডট গুণফল নির্ণয় করি:

\(\vec{A} \cdot \vec{B} = (9\hat{i} + \hat{j} - 6\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 6\hat{j} + 5\hat{k})\)

\(\vec{A} \cdot \vec{B} = (9)(4) + (1)(-6) + (-6)(5)\)

\(\vec{A} \cdot \vec{B} = 36 - 6 - 30\)

\(\vec{A} \cdot \vec{B} = 30 - 30\)

\(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)

যেহেতু \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল শূন্য, সেহেতু ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব। একটি বৃত্তের ব্যাস যেদিকে নির্দেশ করে, তার ব্যাসার্ধও একই দিকে নির্দেশ করে। তাই যদি ভেক্টর \(\vec{A}\) বৃত্তের ব্যাস নির্দেশ করে এবং ভেক্টর \(\vec{B}\) এর উপর লম্ব হয়, তাহলে \(\vec{B}\) ভেক্টরটি ঐ বৃত্তের পরিধির উপর অঙ্কিত স্পর্শক নির্দেশ করতে পারবে। কারণ, স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হয় এবং ব্যাসার্ধের দিক ব্যাসের দিকের সমান্তরাল (একই)।

সুতরাং, গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে দেখা যাচ্ছে যে, যদি \(\vec{A}\) কোনো বৃত্তের ব্যাস নির্দেশ করে, তাহলে \(\vec{B}\) ঐ বৃত্তের পরিধির উপর অঙ্কিত স্পর্শক নির্দেশ করবে।