দুইটি সংখ্যার গুণফল ২৫৩৫ এবং ল.সা.গু. ১৯৫ সংখ্যা হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. কত?

যেকোনো দুইটি সংখ্যা ১০ এবং ৩০ নিয়ে মৌলিক গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করা হলো:

১০ = ২ $\times$ ৫, ৩০ = ২ $\times$ ৩ $\times$ ৫
১০ এবং ৩০ এর গ.সা.গু. = ২ $\times$ ৫ = ১০
এবং ল.সা.গু. = ২ $\times$ ৩ $\times$ ৫ = ৩০

আবার, ১০ এবং ৩০ সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ১০ $\times$ ৩০ = (২০৫) $\times$ (২$\times$৩০৫)
= গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু.
দুইটি সংখ্যার গুণফল সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান।

দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু. $\times$ সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু.

উদাহরণ ৫। মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে ৩০, ৩৬, ৪০ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে, ৩০ = ২ $\times$ ৩$\times$৫

$\therefore$৩০ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ৩, ৫

৩৬ = ২$\times$ ২$\times$৩$\times$৩

$\therefore$৩৬ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ৩, ৩

এবং ৪০ = ২$\times$২$\times$২$\times$৫

$\therefore$৪০ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ২, ৫

$\therefore$৩০, ৩৬, ৪০ এর ল.সা.গু. ২$\times$২$\times$২$\times$৩ $\times$ ৩ $\times$ ৫ = ৩৬০

নির্ণেয় ল.সা.গু. ৩৬০

উদাহরণ ৬। ভাগ প্রক্রিয়ায় ৪২, ৪৮ ও ৫৬ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

উদাহরণ ৭। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৬৫ ও ৪৬৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ৫ ও ৭ থাকে?

সমাধান: যেহেতু বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৬৫ ও ৪৬৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ৫ ও ৭থাকে। কাজেই নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (৩৬৫ ৫) বা ৩৬০ এবং (৪৬৩৭) বা ৪৫৬ এর গ.সা.গু.।

$\therefore$৩৬০ ও ৪৫৬ এর গ.সা.গু. ২৪।
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ২৪।

উদাহরণ ৮। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?
সমাধান: নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু.।

এখানে, ৫৭ = ৩ $\times$ ১৯, ৯৩ = ৩ $\times$ ৩১ এবং ১৮৩ = ৩ $\times$ ৬১
$\therefore$৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু. ৩।

নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩।

উদাহরণ ৯। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১৬, ২৪ ও ৩২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১৬, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু. থেকে ৫ কম।

১৬, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু. = ২ $\times$ ২ $\times$ ২$\times$২$\times$৩$\times$২ = ৯৬

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি (৯৬ – ৫) বা ৯১।

উদাহরন। ১০

(ক) ১৫৯ এর গুণনীয়ক গুলো নির্নয় করে মৌলিক গুণনীয়কগুলো আলাদা কর।
(খ) যদি ৯ টি আম, ৭ টি জাম, ১ টি লিচু পচে যায় তবে অবশিষ্ট ফলের সংখ্যার ল.সা.গু ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
(গ) সর্বাধিক কত জন বালকের মধ্যে ফলগুলো সমান ভাবে ভাগ করে দিলে ৩টি আম, ৬ টি জাম ও ১১ টি লিচু অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান
(ক) ১৫৯ = ১ $\times$ ১৫৯ = ৩ $\times$ ৫৩

১৫৯ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৩, ৫৩ ও ১৫৯
এদের মধ্যে মৌলিক গুণনীয়ক ৩ এবং ৫৩।

(খ)
১ম ঝুড়িতে ভালো আমের সংখ্যা = ১৫৯-৯ = ১৫০
২য় ঝুড়িতে ভালো জামের সংখ্যা = ২২৭-৭ = ২২০
৩য় ঝুড়িতে ভালো লিচুর সংখ্যা = ৪০১-১ = ৪০০

এখন

$\therefore$ ১৫০, ২২০ ও ৪০০ এর ল.সা.গু = ২ $\times$ ২$\times$5 $\times$5 $\times$3 $\times$4৪ $\times$ ১১ = ১৩২০০।

(গ) এখানে,
১৫৯-৩ = ১৫৬
২২৭-৬ = ২২১
৪০১-১১ = ৩৯০
নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে ১৫৬, ২২১ ও ৩৯০ এর গ.সা.গু।