দুটি অসম ধনাত্বক সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রমাণ করুন যে, MD = SD = $\frac{R}{2}$ [প্রতীকগুলো চিরাচরিত]

কোনো নিবেশনের তথ্যমানগুলো কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ থেকে কতটা ছড়িয়ে আছে বা বিচ্ছিন্ন, তার পরিমাপকে বিস্তার বলে।

পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে, বিস্তার (Dispersion) হলো কোনো তথ্যসারির মানগুলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা থেকে কতটা বিচ্যুত বা ছড়িয়ে আছে, তার একটি পরিমাপ। এটি তথ্যসারির অভ্যন্তরীণ ভিন্নতা বা সমজাতীয়তা নির্দেশ করে। কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ (যেমন: গড়, মধ্যমা, প্রচুরক) শুধু তথ্যসারির একটি সাধারণ মান প্রকাশ করে, কিন্তু ডেটা পয়েন্টগুলো সেই গড় থেকে কতটা দূরে অবস্থান করছে তা বোঝাতে পারে না। বিস্তার পরিমাপের মাধ্যমে তথ্যসারির সামঞ্জস্য বা অসামঞ্জস্য সম্পর্কে ধারণা পাওয়া যায়।

বিস্তারকে প্রধানত দুই ভাগে ভাগ করা হয়: পরম পরিমাপ (Absolute Measure) এবং আপেক্ষিক পরিমাপ (Relative Measure)। এদের মধ্যে প্রধান পার্থক্যগুলো নিচে ছকের মাধ্যমে তুলে ধরা হলো:

সমাধান:

প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যার বিভেদাংক (Coefficient of Variation) নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে এর গড় (Mean) এবং পরিমিত ব্যবধান (Standard Deviation) নির্ণয় করতে হবে।

১. গড় (\(\bar{x}\)) নির্ণয়:

প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যা হলো \(1, 2, 3, ..., n\)।

এই সংখ্যাগুলোর সমষ্টি, \(\sum x = \frac{n(n+1)}{2}\)।

মোট পদ সংখ্যা \( = n\)।

অতএব, গড়, \(\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}\)।

২. পরিমিত ব্যবধান (\(\sigma\)) নির্ণয়:

প্রথমে ভেদাংক (\(\sigma^2\)) নির্ণয় করতে হবে।

ভেদাংকের সূত্র: \(\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2\)।

প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি, \(\sum x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)।

এখন, ভেদাংকের সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

\(\sigma^2 = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2\)

\(\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}\)

\(\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{2n+1}{6} - \frac{n+1}{4} \right]\)

\(\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{2(2n+1) - 3(n+1)}{12} \right]\)

\(\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{4n+2 - 3n-3}{12} \right]\)

\(\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{n-1}{12} \right]\)

\(\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}\)

অতএব, পরিমিত ব্যবধান, \(\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}\)।

৩. বিভেদাংক (Coefficient of Variation - CV) নির্ণয়:

বিভেদাংকের সূত্র: \(CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\)।

এখন, \(\sigma\) এবং \(\bar{x}\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(CV = \frac{\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}}{\frac{n+1}{2}} \times 100\)

\(CV = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}} \times \frac{2}{n+1} \times 100\)

\(CV = \frac{\sqrt{(n-1)(n+1)}}{\sqrt{12}} \times \frac{2}{n+1} \times 100\)

যেহেতু, \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) এবং \(\frac{n+1}{\sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1}\)।

\(CV = \frac{\sqrt{n-1} \sqrt{n+1}}{2\sqrt{3}} \times \frac{2}{n+1} \times 100\)

\(CV = \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{3}\sqrt{n+1}} \times 100\)

\(CV = \sqrt{\frac{n-1}{3(n+1)}} \times 100\)

অতএব, প্রথম \(n\) স্বাভাবিক সংখ্যার বিভেদাংক হলো \(\sqrt{\frac{n-1}{3(n+1)}} \times 100\)।

শোধিত পরিঘাতের সংজ্ঞা:

কোনো নিবেশনের চলকের মানসমূহ তাদের গাণিতিক গড় থেকে বিচ্যুতিগুলির ঘাতীয় গড়ের সমষ্টিকে শোধিত পরিঘাত বা কেন্দ্রীয় পরিঘাত (Central Moment) বলে। অর্থাৎ, যদি \(X\) একটি চলক হয় এবং এর গাণিতিক গড় \(\bar{X}\) হয়, তবে k-তম শোধিত পরিঘাতকে \(\mu_k\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এটি নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত হয়:

\[ \mu_k = E[(X - \bar{X})^k] \]

যেখানে, \(E\) হলো প্রত্যাশা অপারেটর। যদি উপাত্তগুলো একটি সসীম সেট হয়, তবে:

\[ \mu_k = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^k}{n} \]

K তম শোধিত ও অশোধিত পরিঘাতের মধ্যকার সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা:

ধরি, \(X\) একটি দৈব চলক। এর গাণিতিক গড় হলো \(\bar{X}\) (বা \(\mu\))।

কোনো একটি কাল্পনিক মূলবিন্দু \(A\) থেকে k-তম অশোধিত পরিঘাতকে \(\mu'_k\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যা নিম্নরূপ:

\[ \mu'_k = E[(X - A)^k] \]

আমরা জানি যে প্রথম অশোধিত পরিঘাত \(\mu'_1\) (যখন মূলবিন্দু \(A\) হয়) হলো:

\[ \mu'_1 = E[(X - A)] = E[X] - A = \bar{X} - A \]

সুতরাং, \(\bar{X} = A + \mu'_1\)।

এখন, k-তম শোধিত পরিঘাতের সংজ্ঞানুসারে:

\[ \mu_k = E[(X - \bar{X})^k] \]

\(\bar{X}\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:

\[ \mu_k = E[(X - (A + \mu'_1))^k] \] \[ \mu_k = E[((X - A) - \mu'_1)^k] \]

দ্বিপদী উপপাদ্য (Binomial Theorem) অনুসারে, \((a - b)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} a^{k-j} (-b)^j\) সূত্রটি ব্যবহার করে:

ধরি, \(a = (X - A)\) এবং \(b = \mu'_1\)।

\[ \mu_k = E \left[ \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (X - A)^{k-j} (-\mu'_1)^j \right] \]

প্রত্যাশা অপারেটর \(E\) রৈখিক হওয়ায়:

\[ \mu_k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-\mu'_1)^j E[(X - A)^{k-j}] \]

এখানে, \(E[(X - A)^{k-j}]\) হলো \(k-j\) তম অশোধিত পরিঘাত (\(\mu'_{k-j}\))।

সুতরাং, K তম শোধিত ও অশোধিত পরিঘাতের মধ্যকার সম্পর্কটি হলো:

\[ \mu_k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-\mu'_1)^j \mu'_{k-j} \]

এই সূত্রটি k-তম শোধিত পরিঘাতকে অশোধিত পরিঘাতের মাধ্যমে প্রকাশ করে। কয়েকটি নির্দিষ্ট ঘাতের জন্য সম্পর্কটি নিম্নরূপ:

    
•         

  দ্বিতীয় শোধিত পরিঘাত (\(\mu_2\)):

          

          \[ \mu_2 = \binom{2}{0} (-\mu'_1)^0 \mu'_2 + \binom{2}{1} (-\mu'_1)^1 \mu'_1 + \binom{2}{2} (-\mu'_1)^2 \mu'_0 \]         \[ \mu_2 = 1 \cdot 1 \cdot \mu'_2 + 2 \cdot (-\mu'_1) \cdot \mu'_1 + 1 \cdot (\mu'_1)^2 \cdot 1 \]         \[ \mu_2 = \mu'_2 - 2(\mu'_1)^2 + (\mu'_1)^2 \]         \[ \mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1)^2 \]         

      
    
•         

  তৃতীয় শোধিত পরিঘাত (\(\mu_3\)):

          

          \[ \mu_3 = \binom{3}{0} (-\mu'_1)^0 \mu'_3 + \binom{3}{1} (-\mu'_1)^1 \mu'_2 + \binom{3}{2} (-\mu'_1)^2 \mu'_1 + \binom{3}{3} (-\mu'_1)^3 \mu'_0 \]         \[ \mu_3 = 1 \cdot 1 \cdot \mu'_3 + 3 \cdot (-\mu'_1) \cdot \mu'_2 + 3 \cdot (\mu'_1)^2 \cdot \mu'_1 + 1 \cdot (-\mu'_1)^3 \cdot 1 \]         \[ \mu_3 = \mu'_3 - 3\mu'_1\mu'_2 + 3(\mu'_1)^3 - (\mu'_1)^3 \]         \[ \mu_3 = \mu'_3 - 3\mu'_1\mu'_2 + 2(\mu'_1)^3 \]         

      
    
•         

  চতুর্থ শোধিত পরিঘাত (\(\mu_4\)):

          

          \[ \mu_4 = \binom{4}{0} (-\mu'_1)^0 \mu'_4 + \binom{4}{1} (-\mu'_1)^1 \mu'_3 + \binom{4}{2} (-\mu'_1)^2 \mu'_2 + \binom{4}{3} (-\mu'_1)^3 \mu'_1 + \binom{4}{4} (-\mu'_1)^4 \mu'_0 \]         \[ \mu_4 = \mu'_4 - 4\mu'_1\mu'_3 + 6(\mu'_1)^2\mu'_2 - 4(\mu'_1)^4 + (\mu'_1)^4 \]         \[ \mu_4 = \mu'_4 - 4\mu'_1\mu'_3 + 6(\mu'_1)^2\mu'_2 - 3(\mu'_1)^4 \]         

      

পরিসংখ্যানে, সূঁচলতা (Kurtosis) একটি ডেটা সেট বা সম্ভাব্যতা বিন্যাসের ডেটা মানগুলি তার গড়ের আশেপাশে কতটা কেন্দ্রীভূত বা বিক্ষিপ্ত তা নির্দেশ করে। এটি বিন্যাসের চূড়ার উচ্চতা (peakedness) এবং লেজের পুরুত্ব (tail weight) পরিমাপ করে। মূলত, সূঁচলতা দেখায় যে একটি বিন্যাসে চরম মান (extreme values) থাকার প্রবণতা কতটা বেশি বা কম।

বিভিন্ন প্রকার সূঁচলতা নিম্নরূপ:

    
•         মেসোকুর্টিক (Mesokurtic):         

  একটি বিন্যাসকে মেসোকুর্টিক বলা হয় যখন এর সূঁচলতা একটি স্বাভাবিক বিন্যাসের (Normal Distribution) মতো হয়। অর্থাৎ, এর চূড়ার তীক্ষ্ণতা এবং লেজের পুরুত্ব একটি আদর্শ ঘণ্টা-আকৃতির (bell-shaped) বক্ররেখার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। এর এক্সসেস সূঁচলতা (Excess Kurtosis) প্রায় শূন্য (\(\gamma_2 \approx 0\)) বা সূঁচলতার দ্বিতীয় সহগ (\(\beta_2\)) প্রায় 3 হয়। সচিত্র বর্ণনার ক্ষেত্রে, এটি একটি আদর্শ ঘণ্টা-আকৃতির লেখচিত্রের মতো দেখায় যার চূড়া এবং লেজ স্বাভাবিক।

      
    
•         লেপ্টোকুর্টিক (Leptokurtic):         

  লেপ্টোকুর্টিক বিন্যাসের চূড়া মেসোকুর্টিক বিন্যাসের চেয়ে বেশি সূঁচালো (sharper peak) এবং এর লেজগুলো পুরু বা ভারী (fatter/heavier tails) হয়। এর অর্থ হলো, ডেটাগুলো গড়ের আশেপাশে বেশি কেন্দ্রীভূত এবং বিন্যাসে চরম মান (extreme values) বা আউটলায়ার (outliers) থাকার প্রবণতা বেশি। এর এক্সসেস সূঁচলতা শূন্যের চেয়ে বেশি (\(\gamma_2 > 0\)) বা সূঁচলতার দ্বিতীয় সহগ 3 এর চেয়ে বেশি (\(\beta_2 > 3\)) হয়। সচিত্র বর্ণনার ক্ষেত্রে, এর লেখচিত্রের মাঝখানে একটি উচ্চ, সরু চূড়া থাকে এবং উভয় পাশে লেজগুলো স্বাভাবিক বিন্যাসের চেয়ে ধীরে ধীরে নিচে নামে, যা মোটা দেখায়।

      
    
•         প্লাটিকুর্টিক (Platykurtic):         

  প্লাটিকুর্টিক বিন্যাসের চূড়া মেসোকুর্টিক বিন্যাসের চেয়ে চ্যাপ্টা (flatter peak) হয় এবং এর লেজগুলো পাতলা (thinner tails) হয়। এর অর্থ হলো, ডেটাগুলো গড়ের আশেপাশে কম কেন্দ্রীভূত এবং আরও বিস্তৃতভাবে ছড়িয়ে থাকে। এই ধরনের বিন্যাসে চরম মান (extreme values) বা আউটলায়ার (outliers) থাকার প্রবণতা কম। এর এক্সসেস সূঁচলতা শূন্যের চেয়ে কম (\(\gamma_2 < 0\)) বা সূঁচলতার দ্বিতীয় সহগ 3 এর চেয়ে কম (\(\beta_2 < 3\)) হয়। সচিত্র বর্ণনার ক্ষেত্রে, এর লেখচিত্রের মাঝখানে একটি নিম্ন, প্রশস্ত চূড়া থাকে এবং উভয় পাশে লেজগুলো স্বাভাবিক বিন্যাসের চেয়ে দ্রুত নিচে নেমে যায়, যা পাতলা দেখায়।

      

এই পরিমাপগুলো ডেটা সেটের বিন্যাস বা আকৃতি সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সরবরাহ করে, যা ঝুঁকি বিশ্লেষণ, মান নিয়ন্ত্রণ এবং অর্থনৈতিক মডেলিংয়ের মতো ক্ষেত্রে অত্যন্ত সহায়ক।