Academy
এসএসসি
গণিত
ঢাকা বোর্ড 2025
দৃশ্যকল্প-১: এক…

দৃশ্যকল্প-১: একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে ভাঙা অংশের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে 18 মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করে।
দৃশ্যকল্প-২: M = sec $θ$ এবং N = tan $θ$

Created: 1 year ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

এসএসসি গণিত ঢাকা বোর্ড - 2025 দূরত্ব ও উচ্চতা বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পরিমিতি

440

(ক)

tan 7x = cot8x হলে x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

tan7x =cot8x

=> tan7x= cot(90°-8x)

=> 7x = 90° - 8x

=> 15x=90°

=> x = 6°

Shamim Mahmud Hossain

1 year ago

(খ)

$M N = 2 \sqrt{3}$ হলেও এর মান নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী, $M = \sec\theta$ এবং $N = \tan\theta$। প্রশ্নমতে, $MN = 2\sqrt{3}$। এখানে $\theta$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রদত্ত শর্তে $M$ ও $N$ এর মান বসিয়ে পাই: $\sec\theta \cdot \tan\theta = 2\sqrt{3}$
$\frac{1}{\cos\theta} \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2\sqrt{3}$
$\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = 2\sqrt{3}$
$\frac{\sin\theta}{1 - \sin^2\theta} = 2\sqrt{3}$
ধরি, $\sin\theta = x$।
$\frac{x}{1 - x^2} = 2\sqrt{3}$
$x = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}x^2$
$2\sqrt{3}x^2 + x - 2\sqrt{3} = 0$
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, যার সমাধান: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2\sqrt{3})(-2\sqrt{3})}}{2(2\sqrt{3})}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4\sqrt{3}}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4\sqrt{3}}$
$x = \frac{-1 \pm 7}{4\sqrt{3}}$
যেহেতু $\sin\theta$ এর মান $-1$ থেকে $1$ এর মধ্যে হতে হয়, তাই ধনাত্মক মানটি গ্রহণীয়।
$x = \frac{-1 + 7}{4\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
সুতরাং, $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\theta = \sin60^\circ$
$\theta = 60^\circ$
সুতরাং, $\theta$ এর মান $60^\circ$।

Satt AI

2 months ago

(গ)

সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

ধরি, সম্পূর্ণ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য $H$ মিটার।

দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী, একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে ভাঙা অংশের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে 18 মিটার দূরে ভূমি স্পর্শ করে।

এখানে, খুঁটিটি ভূমি থেকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় ভেঙে গিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ (right-angled triangle) তৈরি করেছে।

ধরি,

খুঁটির খাড়া বা অবশিষ্ট অংশের দৈর্ঘ্য $ = y$ মিটার।
খুঁটির ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $ = x$ মিটার।

সুতরাং, সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য $H = (y + x)$ মিটার।

ত্রিভুজটি থেকে পাওয়া যায়:

ভূমি (base) = খুঁটির গোড়া থেকে ভাঙা অংশ ভূমি স্পর্শ করার বিন্দুর দূরত্ব $ = 18$ মিটার।
লম্ব (perpendicular) = খুঁটির খাড়া অংশ $ = y$ মিটার।
অতিভুজ (hypotenuse) = খুঁটির ভাঙা অংশ $ = x$ মিটার।
উৎপন্ন কোণ (angle of elevation) $ = 30^\circ$।

এখন, ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (trigonometric ratios) ব্যবহার করে সমাধান করি:

১. খাড়া অংশের দৈর্ঘ্য ($y$) নির্ণয়:

আমরা জানি,

$ \tan(\text{কোণ}) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} $

$ \tan(30^\circ) = \frac{y}{18} $

$ y = 18 \times \tan(30^\circ) $

$ y = 18 \times \frac{1}{\sqrt{3}} $

$ y = \frac{18}{\sqrt{3}} $

$ y = \frac{18\sqrt{3}}{3} $

$ y = 6\sqrt{3} $ মিটার।

২. ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য ($x$) নির্ণয়:

আমরা জানি,

$ \cos(\text{কোণ}) = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} $

$ \cos(30^\circ) = \frac{18}{x} $

$ x = \frac{18}{\cos(30^\circ)} $

$ x = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

$ x = \frac{18 \times 2}{\sqrt{3}} $

$ x = \frac{36}{\sqrt{3}} $

$ x = \frac{36\sqrt{3}}{3} $

$ x = 12\sqrt{3} $ মিটার।

৩. সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য ($H$) নির্ণয়:

সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য $H = y + x$

$ H = 6\sqrt{3} + 12\sqrt{3} $

$ H = 18\sqrt{3} $ মিটার।

এখন $\sqrt{3}$ এর আসন্ন মান 1.732 ব্যবহার করে পাই,

$ H = 18 \times 1.732 $

$ H = 31.176 $ মিটার (প্রায়)।

সুতরাং, সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য $18\sqrt{3}$ মিটার বা প্রায় 31.176 মিটার।

Satt AI

2 months ago

440

MCQ: 722 CQ: 536

Practice

দূরত্ব ও উচ্চতা

অতি প্রাচীন কাল থেকেই দূরবর্তী কোনো বস্তুর দূরত্ব ও উচ্চতা নির্ণয় করতে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ করা হয়। বর্তমান যুগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ব্যবহার বেড়ে যাওয়ায় এর গুরুত্ব অপরিসীম। যে সব পাহাড়, পর্বত, টাওয়ার, গাছের উচ্চতা এবং নদ-নদীর প্রস্থ সহজে মাপা যায় না সে সব ক্ষেত্রে উচ্চতা ও প্রস্থ ত্রিকোণমিতির সাহায্যে নির্ণয় করা যায়। এক্ষেত্রে সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান জেনে রাখা প্রয়োজন।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা ---

ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা, উল্লম্বতল, উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ ব্যাখ্যা করতে পারবে।
ত্রিকোণমিতির সাহায্যে দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
ত্রিকোণমিতির সাহায্যে হাতে-কলমে দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক বিভিন্ন পরিমাপ করতে পারবে।

ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা এবং উল্লম্বতল (Horizontal Line, Vertical Line and Vertical Plane)

ভূ-রেখা হচ্ছে ভূমি তলে অবস্থিত যে কোনো সরলরেখা। ভূ-রেখাকে শয়নরেখাও বলা হয়। ঊর্ধ্বরেখা হচ্ছে ভূমি তলের উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখা। একে উল্লম্ব রেখাও বলে।

ভূমি তলের উপর লম্বভাবে অবস্থিত পরস্পরচ্ছেদী ভূ-রেখা ও ঊর্ধ্বরেখা একটি তল নির্দিষ্ট করে। এ তলকে উল্লম্ব তল বলে।

চিত্রে ভূমি তলের কোনো স্থান C থেকে CB দূরত্বে AB উচ্চতা বিশিষ্ট একটি গাছ লম্ব অবস্থায় দন্ডায়মান। এখানে CB রেখা হচ্ছে ভূ-রেখা, BA রেখা হচ্ছে ঊর্ধ্বরেখা এবং ABC তলটি ভূমির উপর লম্ব যা উল্লম্বতল।

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ (Angle of Elevation and Angle of Depression)

চিত্রটি লক্ষ করি, ভূমির সমান্তরাল AB একটি সরলরেখা। A, O, B, P, Q বিন্দুগুলো একই উল্লম্বতলে অবস্থিত। AB সরলরেখার উপরের P বিন্দুটি AB রেখার সাথে ∠POB উৎপন্ন করে। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠POB ।

সুতরাং ভূভঙ্গের উপরের কোন বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলা হয়।

Q বিন্দু ভূ-রেখার সমান্তরাল AB রেখার নিচের দিকে অবস্থিত। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে Q বিন্দুর অবনতি কোণ হচ্ছে ∠QOB। সুতরাং ভুতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোন বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলা হয়।

বিশেষ দ্রষ্টব্য : এ অধ্যারে সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে আনুমানিক সঠিক চিত্র আবশ্যক। চিত্র অঙ্কনের সময় নিচের কৌশল অবলম্বন করা দরকার।

১. 30° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি > লম্ব হবে।

২. 45° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি = লম্ব হবে।

৩. 60° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি << লম্ব হবে।

উদাহরণ ১. একটি টাওয়ারের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি 30° হলে, টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, টাওয়ারের উচ্চতা AB = h মিটার, টাওয়ারের পাদদেশ থেকে BC = 75 মিটার দূরে ভূতল C বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি ∠ACB = 30°

উদাহরণ ২. একটি গাছের উচ্চতা 105 মিটার। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ 60° তৈরি করলে, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান :

উদাহরণ ৩. 18 মিটার লম্বা একটি মই একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে ভূমির সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে। দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, দেওয়ালটির উচ্চতা AB = h মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য AC = 18 মিটার এবং ভূমির সঙ্গে ∠ACB = 45° উৎপন্ন করে।

সুতরাং দেওয়ালটির উচ্চতা 12.73 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৪. ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো। গাছের গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি খুঁটি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে খুঁটিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য BC : = মিটার, গাছের গোড়া থেকে AB 7 মিটার উচ্চতায় খুঁটিটি ঠেস দিয়ে আছে এবং অবনতি ∠DBC = 30°

$∴$ ∠ACB = ∠DBC = 30° [একান্তর কোণ বলে]

সমকোণী ∠ABC থেকে পাই,

$∴$ BC = 14

$∴$ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য 14 মিটার।

উদাহরণ ৫. ভূতলস্থ কোনো স্থানে একটি দালানের ছাদের একটি বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° । ঐ স্থান থেকে 42 মিটার পিছিয়ে গেলে দালানের ঐ বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হয়। দালানের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, দালানের উচ্চতা AB = h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ACB = 60° এবং C স্থান থেকে CD = 42 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি ∠ADB = 45° হয়।

ধরি, BC = x মিটার।

$∴$ h = 99.373 (প্রায়)

$∴$ দালানটির উচ্চতা 99.37 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৬. একটি খুঁটি এমন ভাবে ভেঙে গেল যে, তার অবিচ্ছিন্ন ভাঙা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য AB = h মিটার, খুঁটিটি BC = x মিটার উচ্চতায় ভেঙে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে ∠BCD = 30° উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে BD = 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

এখানে, CD = AC = AB – BC = (h – x) মিটার

△BCD থেকে পাই,

বা, h – x = 20 বা, h = 20 + x বা, h = $20 + 10 \sqrt{3}$ [x এর মান বসিয়ে]

$∴$ h = 37.321 (প্রায়)

$∴$ খুঁটির দৈর্ঘ্য 37.32 মিটার (প্রায়)।

Related Question

View All

(ক)

c o s (α + 30^{\circ}) = 0

হলে

s i n \frac{α}{2}

এর মান কত ?

এসএসসি গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2023 বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

540

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

$\cos(\alpha + 30^\circ) = 0$

আমরা জানি,

$\cos 90^\circ = 0$

অতএব,

$\alpha + 30^\circ = 90^\circ$

$\Rightarrow \alpha = 90^\circ - 30^\circ$

$\Rightarrow \alpha = 60^\circ$

এখন, $\sin\frac{\alpha}{2}$ এর মান হবে,

$\sin\frac{\alpha}{2} = \sin\frac{60^\circ}{2}$

$= \sin 30^\circ$

আমরা জানি, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

সুতরাং,

$\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}$

Satt AI

2 months ago

540

(গ)

পাইপটির লোহার ওজন নির্ণয় কর।

এসএসসি গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2023 পরিমিতি

957

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

পাইপের বাইরের ব্যাস = 8 সে.মি.

সুতরাং, বাইরের ব্যাসার্ধ (R) = $\frac{8}{2}$ সে.মি. = 4 সে.মি.

পাইপের ভিতরের ব্যাস = 6 সে.মি.

সুতরাং, ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = $\frac{6}{2}$ সে.মি. = 3 সে.মি.

পাইপের উচ্চতা (h) = 10 মিটার = $10 \times 100$ সে.মি. = 1000 সে.মি.

পাইপটির লোহার আয়তন = $\pi (R^2 - r^2) h$ ঘন সে.মি.

= $\pi (4^2 - 3^2) \times 1000$ ঘন সে.মি.

= $\pi (16 - 9) \times 1000$ ঘন সে.মি.

= $\pi \times 7 \times 1000$ ঘন সে.মি.

= $7000\pi$ ঘন সে.মি.

$\approx 7000 \times 3.1416$ ঘন সে.মি. (এখানে $\pi \approx 3.1416$ ধরে)

$\approx 21991.2$ ঘন সে.মি.

1 ঘন সে.মি. পাইপের লোহার ওজন = 7.2 গ্রাম

সুতরাং, পাইপটির লোহার মোট ওজন = $21991.2 \times 7.2$ গ্রাম

= $158336.64$ গ্রাম

= $\frac{158336.64}{1000}$ কেজি (যেহেতু 1 কেজি = 1000 গ্রাম)

= $158.33664$ কেজি

অতএব, পাইপটির লোহার ওজন প্রায় 158.34 কেজি।

Satt AI

1 month ago

957

(ক)

A = 30^{\circ}

হলে প্রমাণ কর যে,

c o s 2 A = \frac{1 - t a n^{2} A}{1 + t a n^{2} A}

এসএসসি গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2023 বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

780

Add Explanation

780

(খ)

প্রমাণ কর যে,

\frac{P}{1 - q} + \frac{q}{1 - p} = s e c β c o s ec β + 1

এসএসসি গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2023 বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

588

Add Explanation

588

(গ)

r = \frac{1}{a}

হলে, প্রমাণ কর যে,

c o t θ = \frac{2 a}{a^{2} - 1}

এসএসসি গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2023 বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

709

Add Explanation

709

(ক)

\tan (90 ° - A) = \sqrt{3}

হলে, A এর মান নির্ণয় কর।

এসএসসি গণিত ঢাকা বোর্ড - 2023 বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

1.7k

Add Explanation

1.7k

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

Related Question

Related Question

Promotion