দৃশ্যকল্প-১ হতে m = 3 হলে প্রমাণ কর যে, $(1-x^2) \frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+9y=0$ 

দেওয়া আছে:

\(\ln(2xy) = x+y\)

উভয়পক্ষকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:

\(\frac{d}{dx}(\ln(2xy)) = \frac{d}{dx}(x+y)\)

বামপক্ষের জন্য চেইন রুল প্রয়োগ করি: \(\frac{1}{2xy} \cdot \frac{d}{dx}(2xy)\)

এখন, \(\frac{d}{dx}(2xy)\) নির্ণয় করি (গুণন রুল ব্যবহার করে):

\(= 2\left(\frac{d}{dx}(x) \cdot y + x \cdot \frac{d}{dx}(y)\right)\)

\(= 2\left(1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx}\right)\)

\(= 2y + 2x\frac{dy}{dx}\)

সুতরাং, বামপক্ষ হয়:

\(\frac{1}{2xy}(2y + 2x\frac{dy}{dx})\)

\(= \frac{2y}{2xy} + \frac{2x}{2xy}\frac{dy}{dx}\)

\(= \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\)

ডানপক্ষ অন্তরীকরণ করি:

\(\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y) = 1 + \frac{dy}{dx}\)

এখন উভয়পক্ষ সমান করে পাই:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}\)

\(\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x}\)

\(\frac{dy}{dx}\left(\frac{1}{y} - 1\right) = \frac{x-1}{x}\)

\(\frac{dy}{dx}\left(\frac{1-y}{y}\right) = \frac{x-1}{x}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{y}{1-y}\)

\(\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)

Satt AI

4 months ago

0 0