দেখাও যে, MN || QR এবং $MN = \frac{1}{2} QR.$

প্রদত্ত:

ত্রিভুজ PQR এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N। (উদ্দীপকের বর্ণনা এবং চিত্র অনুযায়ী)

প্রমাণ করতে হবে যে:

MN || QR এবং MN = \( \frac{1}{2} \) QR।

অঙ্কন:

MN কে F পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন MN = NF হয়। R, F যোগ করি।

প্রমাণ:

ত্রিভুজ PMN ও ত্রিভুজ RNF এ,

১. PN = NR (যেহেতু N, PR এর মধ্যবিন্দু)

২. ∠PNM = ∠RNF (বিপ্রতীপ কোণ)

৩. MN = NF (অঙ্কন অনুসারে)

সুতরাং, ত্রিভুজ PMN \( \cong \) ত্রিভুজ RNF (SAS সর্বসমতা উপপাদ্য অনুসারে)।

অতএব, সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও কোণ সমান হবে,

৪. PM = RF

৫. ∠MPN = ∠FRN

যেহেতু ∠MPN এবং ∠FRN একান্তর কোণ এবং এরা পরস্পর সমান, অতএব, PQ || RF, অর্থাৎ PM || RF।

আবার, M হলো PQ এর মধ্যবিন্দু, তাই PM = MQ।

সুতরাং, MQ = RF (কারণ PM = RF, যা ৪ নং পয়েন্টে প্রমাণিত)।

এখন, চতুর্ভুজ MQRF এর,

৬. MQ || RF (কারণ PQ || RF)

৭. MQ = RF (প্রমাণিত)

যেহেতু চতুর্ভুজ MQRF এর একজোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল ও সমান, সুতরাং, MQRF একটি সামান্তরিক।

আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল ও সমান হয়।

অতএব, MF || QR এবং MF = QR।

যেহেতু MF || QR, সুতরাং, MN || QR (কারণ MN, MF এর অংশ)। (প্রথম অংশ প্রমাণিত)

আবার, MF = QR।

কিন্তু অঙ্কন অনুসারে, MF = MN + NF। যেহেতু MN = NF (অঙ্কন অনুসারে), তাই MF = MN + MN = 2MN।

অতএব, 2MN = QR।

সুতরাং, MN = \( \frac{1}{2} \) QR। (দ্বিতীয় অংশ প্রমাণিত)

(দেখানো হলো)