উত্তরঃ
সমাধান:
দেওয়া আছে, দৈব চলক \(x\) এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (Probability Density Function) হলো:
\(f(x)=\begin{cases} \frac{4}{81}x(9-x^2) & ;~0\le x\le 3 \\ 0 & ;~অন্যথায় \end{cases}\)
১. গড় (Mean) নির্ণয়:
গড়ের সূত্র হলো: \(E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx\)
প্রদত্ত ফাংশন ব্যবহার করে, সীমা \(0\) থেকে \(3\) পর্যন্ত:
\(E[X] = \int_{0}^{3} x \cdot \frac{4}{81}x(9-x^2) dx\)
\(E[X] = \frac{4}{81} \int_{0}^{3} x^2(9-x^2) dx\)
\(E[X] = \frac{4}{81} \int_{0}^{3} (9x^2 - x^4) dx\)
\(E[X] = \frac{4}{81} \left[ \frac{9x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3}\)
\(E[X] = \frac{4}{81} \left[ 3x^3 - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3}\)
\(E[X] = \frac{4}{81} \left[ (3(3)^3 - \frac{(3)^5}{5}) - (3(0)^3 - \frac{(0)^5}{5}) \right]\)
\(E[X] = \frac{4}{81} \left[ (3 \cdot 27 - \frac{243}{5}) - 0 \right]\)
\(E[X] = \frac{4}{81} \left[ 81 - \frac{243}{5} \right]\)
\(E[X] = \frac{4}{81} \left[ \frac{405 - 243}{5} \right]\)
\(E[X] = \frac{4}{81} \left[ \frac{162}{5} \right]\)
\(E[X] = \frac{4 \cdot 162}{81 \cdot 5}\)
\(E[X] = \frac{4 \cdot (2 \cdot 81)}{81 \cdot 5}\)
\(E[X] = \frac{8}{5}\)
\(E[X] = 1.6\)
সুতরাং, বিন্যাসটির গড় \(1.6\)।
২. ভেদাংক (Variance) নির্ণয়:
ভেদাংকের সূত্র হলো: \(Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2\)
প্রথমে \(E[X^2]\) নির্ণয় করতে হবে:
\(E[X^2] = \int_{0}^{3} x^2 \cdot f(x) dx\)
\(E[X^2] = \int_{0}^{3} x^2 \cdot \frac{4}{81}x(9-x^2) dx\)
\(E[X^2] = \frac{4}{81} \int_{0}^{3} x^3(9-x^2) dx\)
\(E[X^2] = \frac{4}{81} \int_{0}^{3} (9x^3 - x^5) dx\)
\(E[X^2] = \frac{4}{81} \left[ \frac{9x^4}{4} - \frac{x^6}{6} \right]_{0}^{3}\)
\(E[X^2] = \frac{4}{81} \left[ (\frac{9(3)^4}{4} - \frac{(3)^6}{6}) - 0 \right]\)
\(E[X^2] = \frac{4}{81} \left[ (\frac{9 \cdot 81}{4} - \frac{729}{6}) \right]\)
\(E[X^2] = \frac{4}{81} \left[ \frac{729}{4} - \frac{729}{6} \right]\)
\(E[X^2] = \frac{4}{81} \cdot 729 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right]\)
\(E[X^2] = 4 \cdot 9 \left[ \frac{3-2}{12} \right]\)
\(E[X^2] = 36 \left[ \frac{1}{12} \right]\)
\(E[X^2] = 3\)
এখন, ভেদাংক নির্ণয়:
\(Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2\)
\(Var[X] = 3 - (\frac{8}{5})^2\)
\(Var[X] = 3 - \frac{64}{25}\)
\(Var[X] = \frac{75 - 64}{25}\)
\(Var[X] = \frac{11}{25}\)
\(Var[X] = 0.44\)
সুতরাং, বিন্যাসটির ভেদাংক \(0.44\)।
৩. প্রচুরক (Mode) নির্ণয়:
প্রচুরক হলো \(x\) এর যে মানের জন্য সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন \(f(x)\) সর্বোচ্চ হয়। এটি নির্ণয় করার জন্য, \(f(x)\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে শূন্যের সমান ধরতে হবে।
দেওয়া আছে, \(f(x) = \frac{4}{81}x(9-x^2) = \frac{4}{81}(9x - x^3)\) যখন \(0 \le x \le 3\)।
প্রথম অন্তরীকরণ \(f'(x)\) :
\(f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{4}{81}(9x - x^3) \right]\)
\(f'(x) = \frac{4}{81}(9 - 3x^2)\)
সর্বোচ্চ মান নির্ণয়ের জন্য, \(f'(x) = 0\) ধরতে হবে:
\(\frac{4}{81}(9 - 3x^2) = 0\)
\(9 - 3x^2 = 0\)
\(3x^2 = 9\)
\(x^2 = 3\)
\(x = \pm\sqrt{3}\)
যেহেতু ফাংশনটির ডোমেইন \(0 \le x \le 3\), আমরা \(x = \sqrt{3}\) মানটি গ্রহণ করব।
এখন, এটি সর্বোচ্চ বিন্দু কিনা তা নিশ্চিত করার জন্য দ্বিতীয় অন্তরীকরণ \(f''(x)\) নির্ণয় করতে হবে:
\(f''(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{4}{81}(9 - 3x^2) \right]\)
\(f''(x) = \frac{4}{81}(-6x)\)
\(x = \sqrt{3}\) হলে:
\(f''(\sqrt{3}) = \frac{4}{81}(-6\sqrt{3})\)
\(f''(\sqrt{3}) = -\frac{24\sqrt{3}}{81} < 0\)
যেহেতু দ্বিতীয় অন্তরীকরণের মান ঋণাত্মক, তাই \(x = \sqrt{3}\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর মান সর্বোচ্চ।
সুতরাং, বিন্যাসটির প্রচুরক \(\sqrt{3}\) (প্রায় \(1.732\))।
