নদী পার হওয়ার জন্য নৌকাটি যদি A বিন্দু হতে সোজাসুজি রওয়ানা করতো তাহলে নদী পার হতে পূর্বের চেয়ে সময় কম না বেশি লাগতো? গাণিতিক বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।

(উচ্চতর দক্ষতা)

কার্ল হলো একটি ভেক্টর অপারেটর যা কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণনশীলতার (rotational tendency) পরিমাণ এবং দিক প্রকাশ করে।

উদ্দীপকে প্রদত্ত চিত্রের A বিন্দু থেকে সোজা অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছতে হলে, নৌকাটিকে এমনভাবে চালনা করতে হবে যেন নদীর স্রোতের কারণে এটি তার কাঙ্ক্ষিত পথ থেকে বিচ্যুত না হয়। এর জন্য নৌকাটিকে স্রোতের প্রতিকূলে একটি নির্দিষ্ট কোণে যাত্রা শুরু করতে হবে, যাতে স্রোতের বেগ নৌকার বেগের একটি উপাংশ দ্বারা নিষ্ক্রিয় হয়ে যায় এবং লব্ধি বেগ সরাসরি নদীর প্রস্থ বরাবর থাকে।

উদ্দীপক অনুসারে, স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ (নৌকার নিজস্ব বেগ + স্রোতের বেগ) হলো \(20 \text{ kmh}^{-1}\) এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (নৌকার নিজস্ব বেগ - স্রোতের বেগ) হলো \(10 \text{ kmh}^{-1}\)। এই তথ্য থেকে, নৌকার নিজস্ব বেগ \(v_b = \frac{20+10}{2} = 15 \text{ kmh}^{-1}\) এবং স্রোতের বেগ \(v_c = \frac{20-10}{2} = 5 \text{ kmh}^{-1}\)। যদি নৌকাটিকে নদীর প্রস্থ বরাবর লম্বের সাথে \(\alpha\) কোণে স্রোতের প্রতিকূলে চালনা করা হয়, তবে স্রোতের দিকের সাপেক্ষে নৌকার বেগের উপাংশ হবে \(v_b \sin\alpha\)। A থেকে B বিন্দুতে সোজা পৌঁছানোর জন্য, এই উপাংশটি স্রোতের বেগের সমান ও বিপরীত হতে হবে। অর্থাৎ, \(v_b \sin\alpha = v_c\)।

উপরিউক্ত সমীকরণে প্রাপ্ত মান বসিয়ে পাই, \(15 \sin\alpha = 5\)। এখান থেকে, \(\sin\alpha = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\)। অতএব, \(\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.47^\circ\)। সুতরাং, উদ্দীপকের A হতে সোজা অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছতে হলে নৌকাটিকে নদীর প্রস্থ বরাবর লম্বের সাথে প্রায় \(19.47^\circ\) কোণে স্রোতের প্রতিকূলে চালনা করতে হবে।