নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর :

চিত্রে O, AB এর মধ্যবিন্দু।

উত্তরঃ পরস্পর স্বল্প দূরত্বে অবস্থিত সমপরিমাণ ও বিপরীতধর্মী দুটি আধান দ্বারা গঠিত তড়িৎ দ্বিমেরুর যেকোনো একটি আধানের মান এবং আধানদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্বের গুণফলকে তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামক বলে। এটি একটি ভেক্টর রাশি এবং এর দিক ঋণাত্মক আধান থেকে ধনাত্মক আধানের দিকে।

উত্তরঃ

পরিবাহীর মধ্য দিয়ে তড়িৎ প্রবাহের সময় মুক্ত ইলেকট্রনগুলো পরিবাহীর পরমাণু ও আয়নের সাথে সংঘর্ষে লিপ্ত হয়। এই সংঘর্ষের ফলে ইলেকট্রনগুলোর গতিশক্তি পরমাণু ও আয়নগুলোতে স্থানান্তরিত হয়, যা তাদের কম্পন শক্তি বৃদ্ধি করে এবং তাপশক্তি হিসেবে প্রকাশিত হয়। এটি মূলত জুলের তাপীয় প্রভাব (Joule heating effect) নামে পরিচিত।

সারসংক্ষেপে, পরিবাহীর রোধের (resistance) কারণে গতিশীল চার্জের বৈদ্যুতিক শক্তি তাপশক্তি (thermal energy) তে রূপান্তরিত হয়। তাপ উৎপন্ন হওয়ার এই হার জুলের সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যায়, যা হলো \(H = I^2Rt\)। এখানে H হলো উৎপন্ন তাপ, I হলো তড়িৎ প্রবাহ, R হলো পরিবাহীর রোধ এবং t হলো সময়। এই রোধ ইলেকট্রন প্রবাহে বাধা সৃষ্টি করে, যার ফলে ইলেকট্রনগুলো শক্তি হারায় এবং তাপ উৎপন্ন হয়।

উত্তরঃ

উদ্দীপকে A বিন্দুতে \(-4\mu C\) এবং B বিন্দুতে \(+4\mu C\) আধান \(0.2 \text{ mm}\) দূরত্বে অবস্থিত। এই আধানদ্বয় একটি তড়িৎ দ্বিমেরু (electric dipole) গঠন করে। তড়িৎ দ্বিমেরুর ভ্রামক (electric dipole moment), \(p = q \times 2l\) দ্বারা নির্ণয় করা হয়, যেখানে \(q\) আধানের মান এবং \(2l\) আধানদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব।

এখানে, আধান \(q = 4 \mu C = 4 \times 10^{-6} C\) এবং আধানদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2l = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} m\)।
সুতরাং, তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামক, \(p = (4 \times 10^{-6} C) \times (0.2 \times 10^{-3} m) = 0.8 \times 10^{-9} C m\)।
P বিন্দুটি দ্বিমেরুর কেন্দ্র O থেকে \(r = 4 m\) দূরত্বে অবস্থিত এবং দ্বিমেরু অক্ষের (AB) সাথে \(\theta = 45^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে। যেহেতু \(r\) (4m) এর মান \(2l\) (0.2mm) এর তুলনায় অনেক বেশি, তাই এটি একটি স্বল্প দৈর্ঘ্যের দ্বিমেরু হিসেবে গণ্য করা যায়।

একটি স্বল্প দৈর্ঘ্যের তড়িৎ দ্বিমেরুর জন্য কেন্দ্র থেকে \(r\) দূরত্বে দ্বিমেরু অক্ষের সাথে \(\theta\) কোণে অবস্থিত P বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য (electric field intensity) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
\[E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3} \sqrt{1+3\cos^2\theta}\]
এখানে, \(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = k = 9 \times 10^9 N m^2 C^{-2}\) (ধ্রুবক)।
প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই,
\[E = (9 \times 10^9) \times \frac{(0.8 \times 10^{-9})}{(4)^3} \sqrt{1+3\cos^2 45^\circ}\]
\[E = \frac{9 \times 0.8}{64} \sqrt{1+3 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}\]
\[E = \frac{7.2}{64} \sqrt{1+3 \times \frac{1}{2}}\]
\[E = 0.1125 \sqrt{1+1.5}\]
\[E = 0.1125 \sqrt{2.5}\]
\[E \approx 0.1125 \times 1.5811388\]
\[E \approx 0.1779 \, N/C\]
সুতরাং, উদ্দীপকের P বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য হলো প্রায় \(0.1779 \, N/C\)।

উত্তরঃ

    উদ্দীপকে একটি তড়িৎ দ্বিমেরু (electric dipole) দেখানো হয়েছে যেখানে A বিন্দুতে \( -4 \mu C \) এবং B বিন্দুতে \( +4 \mu C \) আধান অবস্থিত। O হলো AB এর মধ্যবিন্দু এবং AB এর দৈর্ঘ্য \( 0.2 mm \)। P ও Q বিন্দুর সংযোজক রেখা বরাবর আধান গতিশীল হওয়ার সম্ভাবনা আছে কি-না তা ব্যাখ্যা করার জন্য P ও Q বিন্দুর তড়িৎ বিভব (electric potential) নির্ণয় করতে হবে। যদি P ও Q বিন্দুর বিভব ভিন্ন হয়, তাহলে তাদের মধ্যে বিভব পার্থক্য থাকবে এবং আধান উচ্চ বিভব থেকে নিম্ন বিভবের দিকে (ধনাত্মক আধানের জন্য) অথবা নিম্ন বিভব থেকে উচ্চ বিভবের দিকে (ঋণাত্মক আধানের জন্য) গতিশীল হবে।

    উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যগুলো হলো:     
A বিন্দুর আধান, \( q_A = -4 \mu C = -4 \times 10^{-6} C \)     
B বিন্দুর আধান, \( q_B = +4 \mu C = +4 \times 10^{-6} C \)     
দ্বিমেরুর মোট দৈর্ঘ্য, \( 2l = 0.2 mm = 0.2 \times 10^{-3} m \)     
সুতরাং, O থেকে প্রতিটি আধানের দূরত্ব, \( l = 0.1 \times 10^{-3} m \)     
তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামক (electric dipole moment), \( p = q \times 2l = (4 \times 10^{-6} C) \times (0.2 \times 10^{-3} m) = 0.8 \times 10^{-9} Cm \)     
কুলম্বের ধ্রুবক, \( k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 Nm^2C^{-2} \)     

P বিন্দুর জন্য:     
O থেকে P এর দূরত্ব, \( r_P = 4 m \)     
OP রেখাংশটি OB এর সাথে \( \theta_P = 45^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে।     

Q বিন্দুর জন্য:     
O থেকে Q এর দূরত্ব, \( r_Q = 3 m \)     
OQ রেখাংশটি OA এর সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। যেহেতু OA হলো ধনাত্মক x-অক্ষের বিপরীত দিকে, ধনাত্মক x-অক্ষের সাথে OQ এর কোণ হবে \( \theta_Q = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)।

    একটি তড়িৎ দ্বিমেরুর কারণে দূরবর্তী কোনো বিন্দুতে তড়িৎ বিভবের সূত্র হলো:     
\( V = k \frac{p \cos\theta}{r^2} \)     

এখন P বিন্দুর তড়িৎ বিভব, \( V_P \) নির্ণয় করা যাক:     
\( V_P = (9 \times 10^9) \frac{(0.8 \times 10^{-9}) \cos 45^\circ}{(4)^2} \)     
\( V_P = 9 \times \frac{0.8 \times (1/\sqrt{2})}{16} \)     
\( V_P = \frac{7.2}{16\sqrt{2}} = \frac{0.45}{\sqrt{2}} \)     
\( V_P \approx 0.31819 V \)     

এরপর Q বিন্দুর তড়িৎ বিভব, \( V_Q \) নির্ণয় করা যাক:     
\( V_Q = (9 \times 10^9) \frac{(0.8 \times 10^{-9}) \cos 150^\circ}{(3)^2} \)     
\( V_Q = 9 \times \frac{0.8 \times (-\sqrt{3}/2)}{9} \)     
\( V_Q = 0.8 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -0.4\sqrt{3} \)     
\( V_Q \approx -0.69282 V \)

    প্রাপ্ত ফলাফল থেকে দেখা যায় যে, P বিন্দুর বিভব \( V_P \approx 0.31819 V \) এবং Q বিন্দুর বিভব \( V_Q \approx -0.69282 V \)। যেহেতু \( V_P \neq V_Q \), P ও Q বিন্দুর মধ্যে একটি বিভব পার্থক্য বিদ্যমান। এই বিভব পার্থক্যের কারণে P ও Q বিন্দুর সংযোজক রেখা বরাবর একটি তড়িৎ ক্ষেত্র (electric field) বিদ্যমান থাকবে। যদি এই রেখা বরাবর কোনো আধান স্থাপন করা হয়, তবে আধানটি তড়িৎ বল অনুভব করবে এবং উচ্চ বিভব থেকে নিম্ন বিভবের দিকে (ধনাত্মক আধান) অথবা নিম্ন বিভব থেকে উচ্চ বিভবের দিকে (ঋণাত্মক আধান) গতিশীল হবে। সুতরাং, গাণিতিক যুক্তি থেকে প্রতীয়মান হয় যে, উদ্দীপকের P ও Q বিন্দুর সংযোজক রেখা বরাবর আধান গাতিশীল হওয়ার সম্ভাবনা আছে।