নিচের গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করুন:

মনে করি, মুনাফার হার = r%

এখানে আসল, p = 8000 টাকা, সময় n = 3 বছর

$\therefore$সরল মুনাফা, I = prn এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = $p{(1+r)}^3-p$

প্রশ্নমতে, $p{(1+r)}^3-p$-prn=61

= p{($$\begin{gathered} {(1+r)}^3-1-rn\}=61 \\ ={(1+r)}^3-1-rn=\frac{61}{p} \\ ={(1+r)}^3-1-rn=\frac{61}{8000} \\ = 1+3r+3r^2+r^3-1-3r=\frac{61}{8000} \\ \therefore r^3+3r^2-\frac{61}{8000}=0 \end{gathered}$$

$\therefore$এখন, এই সমীকরণকে সমাধান করে r = 0.005 পাওয়া যায়। অতএব, মুনাফার হার ৫%

দেওয়া আছে, a+b+c=0

1st part, এখন,  $a^3+b^3+c^3$

$$\begin{gathered} =a^3+b^3+c^3-3abc+3abc \\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc \\ =0\times (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc \\ =0+3abc \\ =3abc \end{gathered}$$

2nd part, দেওয়া আছে, ‍a+b+c=0

$\therefore$b+c=-a আবার, c+a=-b এবং a+b=-c

প্রদত্ত রাশিমালা, $\frac{{(b+c)}^2}{3bc}+\frac{{(c+a)}^2}{3ca}+\frac{{(a+b)}^2}{3ab}$

$$\begin{gathered} =\frac{{(-a)}^2}{3bc}+\frac{{(-b)}^2}{3ca}+\frac{{(-c)}^2}{3ab} \\ =\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc} \end{gathered}$$

$=\frac{3abc}{3abc}$   {(i) নং হতে}

=1

মনে করি, ছাত্রসংখ্যা = ক জন

ক জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের সমষ্টি = ১১৯০

$\therefore$ক জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় = $\frac{১১৯০}{ক}$

আবার, ১ জন ছাত্র যোগ হওয়ায়

(ক+১) জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের সমষ্টি = ১১৯০+৮৮ =১২৭৮

$\therefore$(ক+১) জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় = $\frac{১২৭৮}{ক+১}$

প্রশ্নানুযায়ী $\frac{১২৭৮}{ক+১}-\frac{১১৯০}{ক}=১$

$$\begin{gathered} = \frac{১২৭৮ক-১১৯০ক-১১৯০}{ক(ক+১)}=১ \\ = ৮৮ক-১১৯০={ক}^{২}+ক \\ = {ক}^{২}+ক-৮৮ক+১১৯০=০ \\ = {ক}^{২}-৮৭ক+১১১৯০=0 \\ = {ক}^{২}-৭০ক-১৭ক+১১৯০=0 \\ = ক(ক-৭০)-১৭(ক-৭০)=0 \\ =(ক-৭০) (ক-১৭) \end{gathered}$$

এখন হয়, ক-৭০=0

$\therefore$ক=৭০

অথবা, ক -১৭=0

$\therefore$ক=১৭

$\therefore$ছাত্রসংখ্যা ৭০ অথবা ১৭।

মনে করি, আয়তকেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার, প্রস্থ = y মিটার এবং ক্ষেত্রফল xy= 300 মিটার 

$\therefore$আয়তক্ষেত্রের অর্ধপরিসীমা = $\frac{2(x+y)}{2}=(x+y)$ মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = $\sqrt{x^2+y^2}$ মি.

শর্তমতে, $\sqrt{x^2+y^2}+10=x+y$

$=\sqrt{x^2+y^2}=x+y-10$

$=x^2+y^2={\{{(x+y)}^2-10)\}}^2$    বর্গ করে

$$\begin{gathered} =x2+y2 = (x+y)2-20(x+y)+100 \\ =(x+y)2-2xy=(x+y)2-20(x+y)+100 \\ =-2\times 300+20(x+y)=100 as, xy =300 \\ =-600+20(x+y)=100 \\ =20(x+y)=700 \\ =x+y=\frac{700}{20}=35 \\ \therefore y =35-x..............i \\ now, xy = 300 \\ =x(35-x)=300 \\ =35x-x2=300 \\ =x2-35x+300=0 \\ =x2-20x-15x+300=0 \\ =x(x-20)-15(x-20)=0 \\ =(x-20)(x-15)=0 \\ now, x-20=0 \\ \therefore x=20or, \\ x-15=0 \\ \therefore x=15 \end{gathered}$$

(i) নং এ x মান বসিয়ে পাই

y=35-15=20                  then, x=15

and y = 35-20=15          then, x=20

$\therefore$আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে (20,15)।

দেওয়া আছে, $A=\sqrt[3]{27}, B=\sqrt[3]{64},C=2^n, D=2^{n-1} and E=2^{n-1}$

এখন, $\frac{AC-BD}{C-E}=\frac{3\times 2^N-4\times 2^{N-2}}{2^N-2^{N-1}}$

$$\begin{gathered} =\frac{3\times 2^N-4\times 2^N\times 2^{-2}}{2^N-2^N\times 2^{-1}} \\ =\frac{2^N(3-4\times 2^{-2})}{2^N(1-2^{-1})} \\ =\frac{3-4\times {\displaystyle \frac{1}{4}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}} \\ =\frac{3-1}{{\displaystyle \frac{2-1}{2}}} \\ =\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{2}}} \\ =2\times \frac{2}{1} \\ =4 \end{gathered}$$