নিচের গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করুন:

Created: 2 years ago | Updated: 10 months ago

Updated: 10 months ago

PSC MoHFW – Class-III Staff - 2019 গণিত 2019 চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (Compound Interest) ঘন সংবলিত সূত্রাবলি গড় (Average) সমীকরণের প্রয়োগ (Application of Equation) সূচক (Exponents /Indices)

154

(ক)

মুনাফার হার কত হলে ৮০০০ টাকায় ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি ও সরল মুনাফার পার্থক্য ৬১ টাকা হবে?

উত্তরঃ

মনে করি, মুনাফার হার = r%

এখানে আসল, p = 8000 টাকা, সময় n = 3 বছর

$∴$ সরল মুনাফা, I = prn এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = $p {(1 + r)}^{3} - p$

প্রশ্নমতে, $p {(1 + r)}^{3} - p$ -prn=61

= p{( ${(1 + r)}^{3} - 1 - r n} = 61 = {(1 + r)}^{3} - 1 - r n = \frac{61}{p} = {(1 + r)}^{3} - 1 - r n = \frac{61}{8000} = 1 + 3 r + 3 r^{2} + r^{3} - 1 - 3 r = \frac{61}{8000} ∴ r^{3} + 3 r^{2} - \frac{61}{8000} = 0$

$∴$ এখন, এই সমীকরণকে সমাধান করে r = 0.005 পাওয়া যায়। অতএব, মুনাফার হার ৫%

PRONAY TIRKI

2 years ago

(খ)

If a + b + c =0 then find values of $a^{3} + b^{3} + c^{3} a n d \frac{{(b + c)}^{2}}{3 b c} + \frac{{(c + a)}^{2}}{3 c a} + \frac{{(a + b)}^{2}}{3 a b} r e s p e c t i v e l y .$

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, a+b+c=0

1st part, এখন, $a^{3} + b^{3} + c^{3}$

$= a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c + 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) + 3 a b c = 0 \times (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) + 3 a b c = 0 + 3 a b c = 3 a b c$

2nd part, দেওয়া আছে, ‍a+b+c=0

$∴$ b+c=-a আবার, c+a=-b এবং a+b=-c

প্রদত্ত রাশিমালা, $\frac{{(b + c)}^{2}}{3 b c} + \frac{{(c + a)}^{2}}{3 c a} + \frac{{(a + b)}^{2}}{3 a b}$

$= \frac{{(- a)}^{2}}{3 b c} + \frac{{(- b)}^{2}}{3 c a} + \frac{{(- c)}^{2}}{3 a b} = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3 a b c}$

$= \frac{3 a b c}{3 a b c}$ {(i) নং হতে}

PRONAY TIRKI

2 years ago

(গ)

কতিপয় ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের সমষ্টি ১১৯০ এর সাথে ৮৮ নম্বর প্রাপ্ত একজন ছাত্রের নম্বর যোগ হওয়াতে ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় ১ বেড়ে গেল। কতজন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের সমষ্টি ১১৯০?

উত্তরঃ

মনে করি, ছাত্রসংখ্যা = ক জন

ক জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের সমষ্টি = ১১৯০

$∴$ ক জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় = $\frac{১ ১ ৯ ০}{ক}$

আবার, ১ জন ছাত্র যোগ হওয়ায়

(ক+১) জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের সমষ্টি = ১১৯০+৮৮ =১২৭৮

$∴$ (ক+১) জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় = $\frac{১ ২ ৭ ৮}{ক + ১}$

প্রশ্নানুযায়ী $\frac{১ ২ ৭ ৮}{ক + ১} - \frac{১ ১ ৯ ০}{ক} = ১$

$= \frac{১ ২ ৭ ৮ ক - ১ ১ ৯ ০ ক - ১ ১ ৯ ০}{ক (ক + ১)} = ১ = ৮ ৮ ক - ১ ১ ৯ ০ = ক^{২} + ক = ক^{২} + ক - ৮ ৮ ক + ১ ১ ৯ ০ = ০ = ক^{২} - ৮ ৭ ক + ১ ১ ১ ৯ ০ = 0 = ক^{২} - ৭ ০ ক - ১ ৭ ক + ১ ১ ৯ ০ = 0 = ক (ক - ৭ ০) - ১ ৭ (ক - ৭ ০) = 0 = (ক - ৭ ০) (ক - ১ ৭)$

এখন হয়, ক-৭০=0

$∴$ ক=৭০

অথবা, ক -১৭=0

$∴$ ক=১৭

$∴$ ছাত্রসংখ্যা ৭০ অথবা ১৭।

PRONAY TIRKI

2 years ago

(ঘ)

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার এবং এর অর্ধপরিসীমা একটি কর্ণ অপেক্ষা ১০ মিটার বেশি। ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করুন।

উত্তরঃ

মনে করি, আয়তকেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার, প্রস্থ = y মিটার এবং ক্ষেত্রফল xy= 300 মিটার

$∴$ আয়তক্ষেত্রের অর্ধপরিসীমা = $\frac{2 (x + y)}{2} = (x + y)$ মি.

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ মি.

শর্তমতে, $\sqrt{x^{2} + y^{2}} + 10 = x + y$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x + y - 10$

$= x^{2} + y^{2} = {{(x + y)}^{2} - 10)}^{2}$ বর্গ করে

$= x 2 + y 2 = (x + y) 2 - 20 (x + y) + 100 = (x + y) 2 - 2 x y = (x + y) 2 - 20 (x + y) + 100 = - 2 \times 300 + 20 (x + y) = 100 a s, x y = 300 = - 600 + 20 (x + y) = 100 = 20 (x + y) = 700 = x + y = \frac{700}{20} = 35 ∴ y = 35 - x . . . . . . . . . . . . . . i n o w, x y = 300 = x (35 - x) = 300 = 35 x - x 2 = 300 = x 2 - 35 x + 300 = 0 = x 2 - 20 x - 15 x + 300 = 0 = x (x - 20) - 15 (x - 20) = 0 = (x - 20) (x - 15) = 0 n o w, x - 20 = 0 ∴ x = 20 o r, x - 15 = 0 ∴ x = 15$

(i) নং এ x মান বসিয়ে পাই

y=35-15=20 then, x=15

and y = 35-20=15 then, x=20

$∴$ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে (20,15)।

PRONAY TIRKI

2 years ago

(ঙ)

If A = $3_{\sqrt{27},}$ B = $3_{\sqrt{64}}$ , C = $2^{n}, D = 2^{n - 1} a n d E = 2^{n - 1} t h e n f i n d t h e v a l u e o f \frac{A C - B D}{C - E}$

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $A = \sqrt[3]{27}, B = \sqrt[3]{64}, C = 2^{n}, D = 2^{n - 1} a n d E = 2^{n - 1}$

এখন, $\frac{A C - B D}{C - E} = \frac{3 \times 2^{N} - 4 \times 2^{N - 2}}{2^{N} - 2^{N - 1}}$

$= \frac{3 \times 2^{N} - 4 \times 2^{N} \times 2^{- 2}}{2^{N} - 2^{N} \times 2^{- 1}} = \frac{2^{N} (3 - 4 \times 2^{- 2})}{2^{N} (1 - 2^{- 1})} = \frac{3 - 4 \times \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3 - 1}{\frac{2 - 1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \times \frac{2}{1} = 4$

PRONAY TIRKI

2 years ago

154

MCQ: 560 CQ: 122

Practice

গড় (Average)

গড় (Average)

একজাতীয় কতিপয় রাশির সমষ্টিকে উক্ত রাশিগুলোর মোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল পাওয়া যায়, তাকে ঐ রাশিগুলোর গড় বলে।

কয়েকটি সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গড় বা Average বলা হয়। গড় একটি প্রতিনিধিত্বমূলক মান, যা একটি দলের সাধারণ মান নির্দেশ করে।

আরো সহজভাবে বলা যায় যে, গড় হচ্ছে কয়েকটি ছোট বড় বা অসমান সংখ্যা' বা রাশির মধ্যবিন্দু।

০১ঃ সাধারন গড়

সূত্র ০১. গড় বের করার সূত্রঃ-= (রাশিগুলোর যোগফল বা সমষ্টি/রাশিগুলোর সংখ্যা)
সূত্র-২ঃ রাশিগুলোর সমষ্টি = (রাশিগুলোর গড় $\times$ রাশিগুলোর সংখ্যা)

০২: সংখ্যার গড়

০৩ : ধারাবাহিক সংখ্যার গড়

মনে রাখুন:
যে কোন ধারাবাহিক সংখ্যার মোট সংখ্যা বেজোড় হলে তাদের মাঝখানের রাশিটি-ই হচ্ছে তাদের গড়।
আবার ধারাবাহিক সংখ্যার মোট সংখ্যা জোড় হলে তাদের প্রথম ও শেষ রাশির গড় ই হচ্ছে তাদের গড়।
ধারাবাহিক সংখ্যার গড় দেয়া থাকলে তাকে মাঝখানে বসিয়ে দুপাশে সমান সংখ্যক সংখ্যা বসাতে হয়।

০৪: বয়সের গড় (পিতা, মাতা ও পুত্র সহ)

যত জন লোকই থাক:
৫ বছর পরের গড় বয়স হলে গড় ও ৫ বছর বেড়ে যাবে। তেমনি ৫বছর আগের গড় বয়সও ৫ বছর কম ছিল। অর্থাৎ বয়সের কম বেশির সাথে গড় বয়সের কম বেশি সমান হারে হয়।
কিন্তু ৫ বছর পর সমষ্টি বলা হলে যতজনের কথা বলা হবে ততজনের ই ৫ করে বাড়বে। আবার পূর্বের বয়সের কথা বলা হলে সবারই ৫ বছর করে কমবে।
আগে বা পরের গড় বয়স বের করা: এরুপ ক্ষেত্রে বুঝতে হবে যে দুজন এর ই বয়স বেড়েছে। অর্থাৎ যদি বলা হয় যে দুটি শিশুর বয়সের সমষ্টি ১০ বছর। ৩ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি কত হবে। তখন ১০+৩ লেখা যাবে না। কেননা এক্ষেত্রে দুজনেরই বয়স বেড়েছে। তাই ৩ বছর পর তাদের মোট বয়স বাড়বে ৩+৩=৬ বছর। তাই, তখন তাদের মোট বয়স হবে ১০+৬=১৬ বছর। কিন্তু যদি বলা হয় গড় কত হয়েছে? তাহলে গড় হবে ১০+৩ = ১৩ বছর।

৫: ক্রিকেটের গড়

মনে রাখবেন, এক ইনিংস বলতে বোঝায় একটি ম্যাচে একবার ব্যাটিং বা বোলিং করা।
ধরুণ, একজন ব্যাটসম্যান ১টি ম্যাচে ৫০ রান এবং তার পরের ম্যাচে ৩০ রান করল। তাহলে তার দুই ম্যাচে বা দুই ইনিংসের গড় রান হলো ৫০+৩০=৮০÷২=৪০ রান।
আবার বোলারের ক্ষেত্রে যদি কোন বোলার এক ম্যাচে ৩৬ রান দিয়ে ৪ উইকেট পায় তাহলে তার উইকেট প্রতি গড় রান হবে ৩৬÷৪ = ৯রান

গড় নির্ণয়ের সূত্র

$Average = \frac{Sum of observations}{Number of observations}$

উদাহরণ ১

5, 10, 15 এর গড় নির্ণয় কর।

সংখ্যাগুলোর যোগফল = 5 + 10 + 15 = 30

সংখ্যার সংখ্যা = 3

গড় =

$\frac{30}{3}$

= 10

অতএব, গড় = 10

উদাহরণ ২

একজন ছাত্র ৫টি পরীক্ষায় যথাক্রমে 60, 70, 80, 90 ও 100 নম্বর পেয়েছে। তার গড় নম্বর নির্ণয় কর।

মোট নম্বর =

60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 400

পরীক্ষার সংখ্যা = 5

গড় =

$\frac{400}{5}$

= 80

অতএব, গড় নম্বর = 80

বৈশিষ্ট্য

গড় একটি কেন্দ্রীয় মান নির্দেশ করে।
সব তথ্যের যোগফল ব্যবহার করা হয়।
পরিসংখ্যানে গড় খুব গুরুত্বপূর্ণ।
গড় ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

“সব সংখ্যার যোগফল ÷ মোট সংখ্যার সংখ্যা = গড়”

নিচের গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করুন:

Related Question

Related Question