নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দিন

x + 1/x = 3

⇒ x²+ 1/x = 3

⇒ x² + 1 = 3x

⇒ x² - 3x + 1 = 0

⇒ x² -3 . x . 1 + 1² = 0

⇒ (x-1)² = 0

⇒ x - 1 = 0

x = 1

প্রদত্ত রাশি,

x⁹ + 1/x⁹

= 1⁹ + 1/1⁹

= 1 + 1/1

= 1 + 1/1

= 2/1

= 2 (Answer)

প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:

    \[x+y=1 \quad \text{(1)}\]     \[kx+y=2 \quad \text{(2)}\]     \[x+ky=3 \quad \text{(3)}\]

ধাপ ১: সমীকরণ (1) থেকে y এর মান x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

    \[y=1-x \quad \text{(4)}\]

ধাপ ২: সমীকরণ (4) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই।

    \[kx+(1-x)=2\]     \[kx-x=2-1\]     \[x(k-1)=1\]

যদি \(k=1\) হয়, তবে \(x(1-1)=1\) অর্থাৎ \(0=1\), যা অসম্ভব। সুতরাং, \(k \neq 1\)।

    \[x=\frac{1}{k-1} \quad \text{(5)}\]

ধাপ ৩: সমীকরণ (5) থেকে প্রাপ্ত x এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

    \[y=1-x\]     \[y=1-\frac{1}{k-1}\]     \[y=\frac{(k-1)-1}{k-1}\]     \[y=\frac{k-2}{k-1} \quad \text{(6)}\]

ধাপ ৪: সমীকরণ (5) এবং (6) থেকে প্রাপ্ত x ও y এর মান সমীকরণ (3) এ বসাই।

    \[x+ky=3\]     \[\frac{1}{k-1}+k\left(\frac{k-2}{k-1}\right)=3\]

উভয় পক্ষকে \((k-1)\) দ্বারা গুণ করে পাই (যেহেতু \(k \neq 1\)):

    \[1+k(k-2)=3(k-1)\]     \[1+k^2-2k=3k-3\]

ধাপ ৫: সমীকরণটিকে সমাধান করে k এর মান নির্ণয় করি।

    \[k^2-2k-3k+1+3=0\]     \[k^2-5k+4=0\]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করি।

    \[k^2-4k-k+4=0\]     \[k(k-4)-1(k-4)=0\]     \[(k-1)(k-4)=0\]

সুতরাং, \(k-1=0\) অথবা \(k-4=0\)

    \[k=1 \quad \text{অথবা} \quad k=4\]

ধাপ ৬: প্রাপ্ত k এর মানগুলো যাচাই করি।

আমরা আগেই দেখেছি যে, যদি \(k=1\) হয়, তবে \(0=1\) হয় যা অসম্ভব। অর্থাৎ, \(k=1\) হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান থাকে না।

সুতরাং, \(k=1\) গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, k এর একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান হলো \(k=4\)।

দেওয়া আছে,

\(a = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)

প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয় করতে হবে: \(\frac{a^2+2}{2a}\)

প্রথমে \(a^2\) এর মান নির্ণয় করি:

\(a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\)

\(a^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2\)

\(a^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3\)

\(a^2 = 8 + 2\sqrt{15}\)

এখন, প্রদত্ত রাশিতে \(a\) এবং \(a^2\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(\frac{a^2+2}{2a} = \frac{(8 + 2\sqrt{15}) + 2}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{10 + 2\sqrt{15}}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{2(5 + \sqrt{15})}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\)

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(= \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{15}\sqrt{5} - \sqrt{15}\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{45}}{5 - 3}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{25 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}}{2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5}}{2}\)

\(= \frac{2\sqrt{5}}{2}\)

\(= \sqrt{5}\)

সুতরাং, \(\frac{a^2+2}{2a}\) এর মান \(\sqrt{5}\)।

দেওয়া আছে,

\[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 \]

আমরা জানি,

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \]

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \]

মান বসিয়ে পাই,

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 7 + 2 \]

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 9 \]

\[ x + \frac{1}{x} = \sqrt{9} \]

\[ x + \frac{1}{x} = 3 \]

এখন, আমাদের নির্ণয় করতে হবে \(\frac{x^6+1}{x^3}\) এর মান।

\[ \frac{x^6+1}{x^3} = \frac{x^6}{x^3} + \frac{1}{x^3} \]

\[ = x^3 + \frac{1}{x^3} \]

আমরা জানি, \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\)

সুতরাং,

\[ x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right) \]

\[ = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right) \]

\(x + \frac{1}{x} = 3\) এর মান বসিয়ে পাই,

\[ = (3)^3 - 3(3) \]

\[ = 27 - 9 \]

\[ = 18 \]

সুতরাং, \(\frac{x^6+1}{x^3}\) এর মান 18।

পণ্য সংখ্যা=বিক্রিত পণ্যের $\times$(১০০-ক্ষতি)/(১০০+লাভ)

=৪$\times$(১০০-১০)/(১০০+২০)

=৩টি