নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর লিখুনঃ

x + 1/x = 3

⇒ x²+ 1/x = 3

⇒ x² + 1 = 3x

⇒ x² - 3x + 1 = 0

⇒ x² -3 . x . 1 + 1² = 0

⇒ (x-1)² = 0

⇒ x - 1 = 0

x = 1

প্রদত্ত রাশি,

x⁹ + 1/x⁹

= 1⁹ + 1/1⁹

= 1 + 1/1

= 1 + 1/1

= 2/1

= 2 (Answer)

দেওয়া আছে,

\(a = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)

প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয় করতে হবে: \(\frac{a^2+2}{2a}\)

প্রথমে \(a^2\) এর মান নির্ণয় করি:

\(a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\)

\(a^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2\)

\(a^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3\)

\(a^2 = 8 + 2\sqrt{15}\)

এখন, প্রদত্ত রাশিতে \(a\) এবং \(a^2\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(\frac{a^2+2}{2a} = \frac{(8 + 2\sqrt{15}) + 2}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{10 + 2\sqrt{15}}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{2(5 + \sqrt{15})}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\)

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(= \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{15}\sqrt{5} - \sqrt{15}\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{45}}{5 - 3}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{25 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}}{2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5}}{2}\)

\(= \frac{2\sqrt{5}}{2}\)

\(= \sqrt{5}\)

সুতরাং, \(\frac{a^2+2}{2a}\) এর মান \(\sqrt{5}\)।

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

এটি একটি দ্বিঘাত সমমাত্রিক রাশি (homogeneous quadratic expression)। এই ধরনের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য মধ্যপদকে (middle term) এমন দুটি পদে বিভক্ত করতে হয় যাদের গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সমান এবং যোগফল মধ্যপদের সহগের সমান।

১. এখানে,

    
• প্রথম পদের সহগ (coefficient) হলো \((a-1)\)।
    
• শেষ পদের সহগ হলো \((a+1)\)।
    
• মধ্যপদের সহগ হলো \(a^2\)।

২. প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফল নির্ণয় করি:

৩. এখন, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল \((a^2 - 1)\) এবং যোগফল \(a^2\)।

এই সংখ্যা দুটি হলো \((a^2 - 1)\) এবং \(1\)।

কারণ, \((a^2 - 1) \times 1 = a^2 - 1\) এবং \((a^2 - 1) + 1 = a^2\)।

৪. মধ্যপদ \(a^2xy\) কে \((a^2-1)xy + xy\) আকারে বিভক্ত করা যাক:

৫. এখন, পদগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক (common factor) নেওয়া যাক:

প্রথম দুটি পদ থেকে \(x\) কমন নেওয়া যায়:

শেষ দুটি পদ থেকে \(y\) কমন নেওয়া যায়:

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

৬. আমরা জানি, \((a^2-1)\) কে \((a-1)(a+1)\) আকারে লেখা যায়। এই মানটি প্রতিস্থাপন করি:

৭. প্রথম বন্ধনীর ভেতর থেকে \((a-1)\) কমন নেওয়া যাক:

৮. এখন, \(\{x + (a+1)y\}\) উভয় পদে একটি সাধারণ উৎপাদক। এই সাধারণ উৎপাদকটি কমন নেওয়া যাক:

৯. সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণকৃত রূপটি হলো:

দেওয়া আছে:

\[18y^x - y^{2x} = 81 \quad \ldots(1)\]

\[3^x = y^2 \quad \ldots(2)\]

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,

ধরি, \(A = y^x\)।

তাহলে, \(18A - A^2 = 81\)

\(A^2 - 18A + 81 = 0\)

\((A - 9)^2 = 0\)

\(A = 9\)

\(A\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^x = 9 \quad \ldots(3)\]

এখন, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

\(3^x = y^2\)

সমীকরণ (3) কে \(y\) এর জন্য সমাধান করি:

\(y = 9^{\frac{1}{x}}\)

\(y\) এর এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

\(3^x = (9^{\frac{1}{x}})^2\)

\(3^x = 9^{\frac{2}{x}}\)

\(3^x = (3^2)^{\frac{2}{x}}\)

\(3^x = 3^{\frac{4}{x}}\)

উভয় পাশের ভিত্তি একই হওয়ায়, ঘাতগুলো সমান হবে:

\(x = \frac{4}{x}\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm 2\)

এখন \(x\) এর দুটি মানের জন্য \(y\) এর মান নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রে 1: যখন \(x = 2\)

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

\(y^2 = 9\)

\(y = \pm 3\)

অতএব, সমাধানগুলো হলো \((2, 3)\) এবং \((2, -3)\)

ক্ষেত্রে 2: যখন \(x = -2\)

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

\(y^{-2} = 9\)

\(\frac{1}{y^2} = 9\)

\(y^2 = \frac{1}{9}\)

\(y = \pm \frac{1}{3}\)

অতএব, সমাধানগুলো হলো \((-2, \frac{1}{3})\) এবং \((-2, -\frac{1}{3})\)

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানসমূহ হলো: \((2, 3), (2, -3), (-2, \frac{1}{3}), (-2, -\frac{1}{3})\)