নিচের বিমটির SDF ও  BMD অঙ্কন করুন।

১. সাপোর্ট প্রতিক্রিয়া (Support Reactions) নির্ণয়:

    প্রদত্ত বিমটির বাম প্রান্তে A বিন্দুতে একটি পিন সাপোর্ট (Pin Support) এবং A থেকে 6 ফুট দূরে B বিন্দুতে একটি রোলার সাপোর্ট (Roller Support) রয়েছে। বিমটিতে দুটি উল্লম্ব পয়েন্ট লোড (Point Load) প্রয়োগ করা হয়েছে: A থেকে 3 ফুট দূরে 40 kips এবং B থেকে 3 ফুট দূরে (অর্থাৎ A থেকে 9 ফুট দূরে) 15 kips।

    সাপোর্ট প্রতিক্রিয়া \(R_A\) (A বিন্দুতে) এবং \(R_B\) (B বিন্দুতে) নির্ণয় করার জন্য আমরা স্ট্যাটিক ভারসাম্যের সমীকরণগুলি ব্যবহার করব:

    ১. উল্লম্ব বলগুলির সমষ্টি শূন্য (\(\sum F_y = 0\))

    ২. যেকোনো বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্টের সমষ্টি শূন্য (\(\sum M = 0\))

    A বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট নিয়ে (ঘড়ির কাঁটার দিকে ধনাত্মক):

    \[\sum M_A = 0\]

    \[R_B \times (3 + 3) - 40 \times 3 - 15 \times (3 + 3 + 3) = 0\]

    \[R_B \times 6 - 120 - 15 \times 9 = 0\]

    \[R_B \times 6 - 120 - 135 = 0\]

    \[R_B \times 6 = 255\]

    \[R_B = \frac{255}{6} = 42.5 \text{ kips}\]     (এই প্রতিক্রিয়া উপরের দিকে ক্রিয়াশীল)

    উল্লম্ব বলগুলির সমষ্টি শূন্য ধরে:

    \[\sum F_y = 0\]

    \[R_A + R_B - 40 - 15 = 0\]

    \[R_A + 42.5 - 55 = 0\]

    \[R_A = 55 - 42.5 = 12.5 \text{ kips}\]     (এই প্রতিক্রিয়া উপরের দিকে ক্রিয়াশীল)

    সুতরাং, সাপোর্ট প্রতিক্রিয়াগুলি হলো: \(R_A = 12.5 \text{ kips}\) (উপরের দিকে) এবং \(R_B = 42.5 \text{ kips}\) (উপরের দিকে)।

২. শিয়ার ফোর্স (Shear Force) গণনা ও শিয়ার ফোর্স ডায়াগ্রাম (SDF) অঙ্কন:

    আমরা বিমের বিভিন্ন অংশে শিয়ার ফোর্স (Shear Force) গণনা করব। প্রচলিত সাইন কনভেনশন অনুযায়ী, বাম দিক থেকে ডান দিকে লোড উপরের দিকে ক্রিয়া করলে ধনাত্মক শিয়ার ফোর্স এবং নিচের দিকে ক্রিয়া করলে ঋণাত্মক শিয়ার ফোর্স ধরা হয়।

    
•         A বিন্দুতে (x=0) জাস্ট ডানে:         

  \[V_A = +R_A = +12.5 \text{ kips}\]

      
    
•         A থেকে 3 ফুট দূরে 40 kips লোডের জাস্ট বামে (x=3 ft):         

  \[V = +12.5 \text{ kips}\]

      
    
•         A থেকে 3 ফুট দূরে 40 kips লোডের জাস্ট ডানে (x=3 ft):         

  \[V = +12.5 - 40 = -27.5 \text{ kips}\]

      
    
•         B সাপোর্ট এর জাস্ট বামে (x=6 ft):         

  \[V = -27.5 \text{ kips}\]

      
    
•         B সাপোর্ট এর জাস্ট ডানে (x=6 ft):         

  \[V = -27.5 + R_B = -27.5 + 42.5 = +15 \text{ kips}\]

      
    
•         বিমের শেষ প্রান্তে 15 kips লোডের জাস্ট বামে (x=9 ft):         

  \[V = +15 \text{ kips}\]

      
    
•         বিমের শেষ প্রান্তে 15 kips লোডের জাস্ট ডানে (x=9 ft):         

  \[V = +15 - 15 = 0 \text{ kips}\]

      

    SDF (Shear Force Diagram) অঙ্কন করার জন্য, উপরে গণনা করা এই মানগুলি প্লট করা হবে। লোড পয়েন্ট এবং সাপোর্ট পয়েন্টে শিয়ার ফোর্সের মান পরিবর্তন হয়। যেহেতু সমস্ত লোড পয়েন্ট লোড, তাই SDF রেখাগুলি অনুভূমিকভাবে সমান্তরাল (Horizontal Straight Lines) এবং উল্লম্বভাবে হঠাৎ পরিবর্তন (Vertical Jumps) দেখাবে।

৩. বেন্ডিং মোমেন্ট (Bending Moment) গণনা ও বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম (BMD) অঙ্কন:

    আমরা বিমের বিভিন্ন অংশে বেন্ডিং মোমেন্ট (Bending Moment) গণনা করব। প্রচলিত সাইন কনভেনশন অনুযায়ী, স্যাগিং (Sagging) মোমেন্টকে ধনাত্মক এবং হোগিং (Hogging) মোমেন্টকে ঋণাত্মক ধরা হয়।

    
•         A বিন্দুতে (x=0):         

  পিন সাপোর্টে মোমেন্ট শূন্য হয়।

          

  \[M_A = 0 \text{ kip-ft}\]

      
    
•         40 kips লোড যেখানে আছে (x=3 ft):         

  \[M_{x=3} = R_A \times 3 = 12.5 \times 3 = +37.5 \text{ kip-ft}\]

      
    
•         B সাপোর্ট যেখানে আছে (x=6 ft):         

  \[M_{x=6} = R_A \times 6 - 40 \times (6-3) = 12.5 \times 6 - 40 \times 3 = 75 - 120 = -45 \text{ kip-ft}\]

      
    
•         বিমের শেষ প্রান্তে (x=9 ft):         

  ফ্রি এন্ডে মোমেন্ট শূন্য হবে, কারণ এর ডান দিকে কোনো লোড নেই অথবা ডান দিকের লোড 15 kips এই বিন্দুতে ক্রিয়া করছে।

          

  \[M_{x=9} = 0 \text{ kip-ft}\]

      

    BMD (Bending Moment Diagram) অঙ্কন করার জন্য, উপরে গণনা করা এই মানগুলি প্লট করা হবে। পয়েন্ট লোডের কারণে বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রামটি রৈখিক (Linear Straight Lines) সেগমেন্ট দ্বারা গঠিত হবে। সর্বোচ্চ ধনাত্মক মোমেন্ট হবে +37.5 kip-ft (x=3 ft-এ) এবং সর্বোচ্চ ঋণাত্মক মোমেন্ট হবে -45 kip-ft (x=6 ft-এ)।

    বিশেষ দ্রষ্টব্য: এখানে শুধু গণনা এবং ডায়াগ্রামের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুগুলি চিহ্নিত করা হয়েছে। একজন শিক্ষার্থীকে পরীক্ষার খাতায় স্কেল ও পেন্সিল ব্যবহার করে প্রদত্ত ডেটা অনুযায়ী Shear Force Diagram (SDF) এবং Bending Moment Diagram (BMD) দুটি সঠিক অনুপাতে (to scale) অঙ্কন করতে হবে।