নিচের যে কোন ৫টি প্রশ্নের উত্তর দিন:

ধরি, অফিস সহায়ক পায় x টাকা

∴ অফিস সহকারী পায় ২০ টাকা এবং কর্মকর্তা পায় ৪x টাকা

প্রশ্নমতে, $\left(x\times ৩\right) + \left(2x \times ৭\right) + \left(৪x \times ২\right) = ১, ৫০, ০০০$

বা, $৩x+ ১৪x + ৮x = ১,৫০,০০০$

বা, $২৫x = ১, ৫০, ০০০$

বা, $x = \frac{১, ৫০, ০০০}{২৫}$ = ৬,০০০ টাকা

অতএব, একজন অফিস সহায়ক পায় ৬,০০০ টাকা

একজন অফিস সহকারী পায় = $২ \times ৬০০০$ = ১২,০০০ টাকা

এবং একজন কর্মকর্তা পায় =  $৪ \times ৬০০০$= ২৪,০০০ টাকা।

দেওয়া আছে,

\[ x^2 - xy + y^2 = 21 \quad \dots(1) \]

\[ x + y = 3 \quad \dots(2) \]

আমরা জানি, \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

বা, \( x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \)

সমীকরণ (1) এ \( x^2 + y^2 \) এর মান বসিয়ে পাই:

\[ (x+y)^2 - 2xy - xy = 21 \]

\[ (x+y)^2 - 3xy = 21 \]

এখন সমীকরণ (2) থেকে \( x+y = 3 \) এর মান বসিয়ে পাই:

\[ (3)^2 - 3xy = 21 \]

\[ 9 - 3xy = 21 \]

\[ -3xy = 21 - 9 \]

\[ -3xy = 12 \]

\[ xy = \frac{12}{-3} \]

\[ xy = -4 \quad \dots(3) \]

এখন আমরা \( x \) এবং \( y \) এর মান নির্ণয় করার জন্য একটি দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করতে পারি যার মূলদ্বয় \( x \) এবং \( y \):

\[ t^2 - (x+y)t + xy = 0 \]

সমীকরণ (2) থেকে \( x+y = 3 \) এবং সমীকরণ (3) থেকে \( xy = -4 \) এর মান বসিয়ে পাই:

\[ t^2 - (3)t + (-4) = 0 \]

\[ t^2 - 3t - 4 = 0 \]

এই দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করে \( t \) এর মান নির্ণয় করি:

\[ t^2 - 4t + t - 4 = 0 \]

\[ t(t-4) + 1(t-4) = 0 \]

\[ (t-4)(t+1) = 0 \]

অতএব,

\[ t-4 = 0 \implies t = 4 \]

অথবা,

\[ t+1 = 0 \implies t = -1 \]

সুতরাং, \( x \) এবং \( y \) এর সম্ভাব্য মান হলো 4 এবং -1।

যদি \( x = 4 \) হয়, তাহলে সমীকরণ (2) থেকে \( 4+y = 3 \implies y = 3-4 = -1 \)।

যদি \( x = -1 \) হয়, তাহলে সমীকরণ (2) থেকে \( -1+y = 3 \implies y = 3+1 = 4 \)।

অতএব, \( x, y \) এর মান যথাক্রমে \( (4, -1) \) অথবা \( (-1, 4) \)।

ধরি, বৃহত্তম অংশটি \(x\) এবং ক্ষুদ্রতর অংশটি \(y\) ।

প্রশ্নানুসারে,

\(x + y = 75\) ......(i)

বৃহত্তম অংশের এক-তৃতীয়াংশ ৩০ অপেক্ষা যত কম, তা হলো:

\(30 - \frac{x}{3}\)

ক্ষুদ্রতর অংশের চার গুণ ৫০ অপেক্ষা যত বেশী, তা হলো:

\(4y - 50\)

শর্তানুসারে, এই দুটি মান সমান।

\(30 - \frac{x}{3} = 4y - 50\) ......(ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই:

\(x = 75 - y\)

\(x\) এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই:

\(30 - \frac{(75 - y)}{3} = 4y - 50\)

উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই:

\(3 \times 30 - 3 \times \frac{(75 - y)}{3} = 3 \times 4y - 3 \times 50\)

\(90 - (75 - y) = 12y - 150\)

\(90 - 75 + y = 12y - 150\)

\(15 + y = 12y - 150\)

\(15 + 150 = 12y - y\)

\(165 = 11y\)

\(y = \frac{165}{11}\)

\(y = 15\)

\(y\) এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই:

\(x + 15 = 75\)

\(x = 75 - 15\)

\(x = 60\)

সুতরাং, অংশ দুটি হলো 60 এবং 15।

ধরি, ব্যক্তি বার্ষিক ১০% মুনাফায় বিনিয়োগ করেছিলেন \(x\) টাকা।

সুতরাং, বার্ষিক ১২% মুনাফায় বিনিয়োগ করেছিলেন \((20000 - x)\) টাকা।

এক বছর পর তিনি মোট বিনিয়োগের \(10\frac{1}{2}\%\) মুনাফা পেলেন।

মোট মুনাফার হার \( = 10\frac{1}{2}\% = \frac{21}{2}\% = \frac{21}{200}\)।

মোট মুনাফা \( = 20000 \times \frac{21}{200}\) টাকা।

\( = 100 \times 21 = 2100\) টাকা।

প্রশ্নমতে,

\(x \times \frac{10}{100} + (20000 - x) \times \frac{12}{100} = 2100\)

\(\frac{10x}{100} + \frac{12(20000 - x)}{100} = 2100\)

উভয়পক্ষকে ১০০ দ্বারা গুণ করে পাই:

\(10x + 12(20000 - x) = 2100 \times 100\)

\(10x + 240000 - 12x = 210000\)

\(-2x = 210000 - 240000\)

\(-2x = -30000\)

\(x = \frac{-30000}{-2}\)

\(x = 15000\)

সুতরাং, ১০% মুনাফায় বিনিয়োগকৃত টাকার পরিমাণ = ১৫০০০ টাকা।

এবং ১২% মুনাফায় বিনিয়োগকৃত টাকার পরিমাণ = \((20000 - 15000)\) টাকা।

= ৫০০০ টাকা।

উত্তর: ১০% মুনাফায় বিনিয়োগ করেছিলেন ১৫০০০ টাকা এবং ১২% মুনাফায় বিনিয়োগ করেছিলেন ৫০০০ টাকা।

উত্তর:

খুঁটিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য \( 15(1 + \sqrt{2}) \) মিটার (প্রায় \( 36.21 \) মিটার)।

ব্যাখ্যা:

মনে করি, খুঁটিটির গোড়া \( Q \), ভাঙার স্থান \( R \) এবং ভাঙা অংশটি মাটি স্পর্শ করে \( S \) বিন্দুতে।

সুতরাং, \( RQ \) হলো খুঁটির দন্ডায়মান অংশ এবং \( RS \) হলো ভাঙা অংশ। খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য হবে \( RQ + RS \)।

প্রশ্নানুসারে, ভাঙা অংশটি খুঁটির গোড়া থেকে \( 15 \) মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে, অর্থাৎ \( QS = 15 \) মিটার।

ভাঙা অংশটি দন্ডায়মান অংশের সাথে \( 45° \) কোণ উৎপন্ন করে, অর্থাৎ \( \angle QRS = 45° \)।

আমরা \( \triangle QRS \) একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাই, যেখানে \( \angle RQS = 90° \)।

১. দন্ডায়মান অংশ \( RQ \) নির্ণয়:

সমকোণী ত্রিভুজ \( \triangle QRS \)-এ,

\( \tan(\angle QRS) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{QS}{RQ} \)

\( \tan(45°) = \frac{15}{RQ} \)

\( 1 = \frac{15}{RQ} \)

\( RQ = 15 \) মিটার।

২. ভাঙা অংশ \( RS \) নির্ণয়:

পুনরায়, সমকোণী ত্রিভুজ \( \triangle QRS \)-এ,

\( \sin(\angle QRS) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{QS}{RS} \)

\( \sin(45°) = \frac{15}{RS} \)

\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{15}{RS} \)

\( RS = 15\sqrt{2} \) মিটার।

৩. খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য \( L = RQ + RS \)

\( L = 15 + 15\sqrt{2} \)

\( L = 15(1 + \sqrt{2}) \) মিটার।

যদি \( \sqrt{2} \approx 1.4142 \) ধরি,

\( L \approx 15(1 + 1.4142) \)

\( L \approx 15 \times 2.4142 \)

\( L \approx 36.213 \) মিটার।

দেওয়া আছে,

বাগানটির দৈর্ঘ্য = ৮০ ফুট

বাগানটির প্রস্থ = ৬০ ফুট

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার দৈর্ঘ্য = ৮০ ফুট

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার প্রস্থ = ৫ ফুট

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = \((৮০ \times ৫)\) বর্গফুট = ৪০০ বর্গফুট

প্রস্থ বরাবর রাস্তার দৈর্ঘ্য = ৬০ ফুট

প্রস্থ বরাবর রাস্তার প্রস্থ = ৫ ফুট

প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = \((৬০ \times ৫)\) বর্গফুট = ৩০০ বর্গফুট

রাস্তা দুটি যেখানে ছেদ করেছে, সেই অংশের ক্ষেত্রফল (উভয় রাস্তার অন্তর্ভুক্ত) = \((৫ \times ৫)\) বর্গফুট = ২৫ বর্গফুট

রাস্তাগুলোর মোট ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল + প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল) - ছেদকারী অংশের ক্ষেত্রফল

= \((৪০০ + ৩০০ - ২৫)\) বর্গফুট

= \((৭০০ - ২৫)\) বর্গফুট

= ৬৭৫ বর্গফুট

প্রতি বর্গফুট রাস্তা ঢালাই করতে খরচ হয় ২৫ টাকা।

সুতরাং, ৬৭৫ বর্গফুট রাস্তা ঢালাই করতে খরচ হবে = \((৬৭৫ \times ২৫)\) টাকা

= ১৬৮৭৫ টাকা

ধরি, শ্রেণীতে ছাত্র সংখ্যা ছিল \(x\) জন।

প্রশ্নানুসারে, প্রত্যেক ছাত্র চাঁদা দেয় \(x \times 5\) পয়সা = \(5x\) পয়সা।

মোট চাঁদা = ছাত্র সংখ্যা \(\times\) প্রত্যেকের চাঁদা

মোট চাঁদা = \(x \times 5x\) পয়সা

মোট চাঁদা = \(5x^2\) পয়সা।

প্রশ্নে দেওয়া আছে মোট চাঁদা = ১২৫ টাকা।

আমরা জানি, ১ টাকা = ১০০ পয়সা।

সুতরাং, ১২৫ টাকা = \(125 \times 100\) পয়সা = ১২৫০০ পয়সা।

শর্তমতে,

\(5x^2 = 12500\)

\(x^2 = \frac{12500}{5}\)

\(x^2 = 2500\)

\(x = \sqrt{2500}\)

\(x = 50\)

অতএব, ঐ শ্রেণীতে মোট ৫০ জন ছাত্র ছিল।