নিদের গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করুন।

২০২৫ সালে বালক ছিল x জন।

∴ ২০২৫ সালে বালিকা ছিল = (১,৮০০-x) জন।

প্রশ্নমতে, ৫% এর x - ৭% এর (১,৮০০ - x) = ০

⇒ $\frac{৫x}{১০০}-\frac{৭(১৮০০-x)}{১০০}=০$

$\Rightarrow \frac{৫x}{১০০}-\frac{১২৬০০ - ৭x}{১০০}$

⇒ ১২x = ১২,৬০০

∴ $x=\frac{১২৬০০}{১২}= ১,০৫০$

অর্থাৎ, ২০২৫ সালে বালক ছিল ১,০৫০ জন।

ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y

∴ সংখ্যাটি = ১০y + x

প্রশ্নমতে, xy = ৮ ……………… (i)

এবং ১০y + x + ১৮ = ১০x …………….. (ii)

এখন সমীকরণ (ii) নং হতে পাই,

১০y + x + ১৮ = ১০x + y

⇒ ৯ - ৯x = -১৮

⇒ ৯ (y - x) = -১৮

$\Rightarrow y-x=\frac{-১৮}{৯}=-২$

∴ x = y + ২ …………….. (iii)

x এর মান (ii) নং এ বসাই

(y+২) y = ৮

⇒ y² + ২y - ৮ = ০

⇒ y² + ৪y - ২y - ৮ = ০

⇒ y(y + ৪) - ২(y + ৪) = ০

⇒ (y + ৪)(y - ২) = ০

এখানে, y + ৪ = ০

⇒ y = - ৪ যা গ্রহণীয় নয়।

হয়, y - ২ = ০

∴ y = ২

y এর মান (iii) নং এ বসাই,

x = ২ + ২ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = (১০ $\times$ ২) + ৪ = ২০ + ৪ = ২৪

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার

এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ y মিটার

প্রশ্নমতে, xy = ২৪০ …………. (i)

এবং (x + ৬) $\times$(y - ২) = ২৪০

⇒ xy - ২x + ৬y - ১২ = ২৪০

⇒ ২৪০ - ২x + ৬y - ১২ = ২৪০

⇒ - ২x + ৬y = ১২

⇒ ২x - ৬y = - ১২

⇒ x - ৬y = - ৬

∴ x = ৩৬-৬ …………. (ii)

x এর মান (i) নং এ বসাই,

(৩y - ৬) y = ২৪০

⇒ ৩y² - ৬y - ২৪০ = ০

⇒ y² - ২y - ৮০ = ০

⇒ y² - ১০y + ৮y - ৮০ = ০

⇒ y(y - ১০) + ৮(y - ১০) = ০

⇒ (y - ১০)(y + ৮) = ০

হয়, y + ৮ = 0

∴ y = - ৮ যা গ্রহণীয় নয়

আবার, y - ১০ = ০

∴ y = ১০

y এর মান (ii) নং এ বসাই

x = (৩ $\times$১০)

∴ x = ৩০-৬ = ২৪

∴ নির্ণেয় দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার।

দেওয়া আছে, a + b + c = 2

$\Rightarrow (a+b+c{)}^2=2^2$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=4$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=4$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+(2\times 1)=4$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2$

প্রদত্তরাশিমালা, $(a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(c+a{)}^2$

$=a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ac+a^2$

$=2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac$

$=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)$

$= (2 \times 2) + (2 \times 1)$

= 4 + 2 = 6 (answer)

১৬ লিটার দুধ পানির পরিমাণ হবে

= ৫x +৩x = ১৬ লিটার

⇒ ৮x = ১৬

∴ x = ২

মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৫ $\times$ ২ = ১০ লিটার

∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৩$\times$৬ = ৬ লিটার

প্রশ্নমতে, $\frac{৫x-১০}{৩x-৬+১৬}=\frac{৫}{৭}$

⇒ ৩৫x - ৭০ = ১৫x + ৫০

⇒ ২০x = ৫০+৭০ = ১২০

∴ x = ৬

∴ মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৫$\times$৬  = ৩০ লিটার

এবং পানির পরিমাণ = ৩ $\times$৬ = ১৮ লিটার

∴ মোট মিশ্রণের পরিমাণ ৪৮ লিটার।