পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক কাকে বলে? (জ্ঞানমূলক)

প্রদত্ত উদ্দীপক অনুসারে, 1m বাহুবিশিষ্ট ABCD বর্গক্ষেত্রের A, B ও C বিন্দুতে যথাক্রমে \(2C\), \(-2C\) ও \(2C\) চার্জ রয়েছে। D বিন্দুতে মোট বিভব (electric potential) নির্ণয় করতে হলে, A, B ও C বিন্দুতে অবস্থিত চার্জগুলোর জন্য D বিন্দুতে সৃষ্ট বিভবগুলোর বীজগাণিতিক যোগফল নির্ণয় করতে হবে। এর জন্য প্রতিটি চার্জ থেকে D বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করা প্রয়োজন এবং বিভবের সূত্র ব্যবহার করে প্রতিটি বিভব আলাদাভাবে বের করতে হবে।

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য \(a = 1 \text{ m}\)। D বিন্দু থেকে A বিন্দুর দূরত্ব, \(r_{AD} = a = 1 \text{ m}\)। D বিন্দু থেকে C বিন্দুর দূরত্ব, \(r_{CD} = a = 1 \text{ m}\)। D বিন্দু থেকে B বিন্দুর দূরত্ব হলো বর্গক্ষেত্রের কর্ণ, যা \(d = a\sqrt{2}\) সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা যায়। সুতরাং, \(r_{BD} = 1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ m}\)। কোনো বিন্দু চার্জের জন্য সৃষ্ট বিভবের সূত্র হলো \(V = k \frac{Q}{r}\), যেখানে \(k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2\) হলো কুলম্ব ধ্রুবক (Coulomb's constant)।

এখন, A, B ও C বিন্দুতে অবস্থিত চার্জগুলোর জন্য D বিন্দুতে সৃষ্ট বিভব নির্ণয় করে এবং তাদের যোগ করে D বিন্দুর মোট বিভব পাই:

\(V_A = k \frac{Q_A}{r_{AD}} = 9 \times 10^9 \times \frac{2}{1}\)

\(V_C = k \frac{Q_C}{r_{CD}} = 9 \times 10^9 \times \frac{2}{1}\)

\(V_B = k \frac{Q_B}{r_{BD}} = 9 \times 10^9 \times \frac{-2}{\sqrt{2}}\)

D বিন্দুতে মোট বিভব, \(V_D = V_A + V_B + V_C\)

\(V_D = 9 \times 10^9 \left( \frac{2}{1} + \frac{-2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{1} \right)\)

\(V_D = 9 \times 10^9 \left( 4 - \frac{2}{\sqrt{2}} \right)\)

\(V_D = 9 \times 10^9 \left( 4 - \sqrt{2} \right)\)

\(V_D = 9 \times 10^9 (4 - 1.4142)\)

\(V_D = 9 \times 10^9 (2.5858)\)

\(V_D \approx 2.327 \times 10^{10} \text{ V}\)

সুতরাং, D বিন্দুতে মোট বিভবের মান প্রায় \(2.327 \times 10^{10} \text{ V}\) হবে।

        প্রদত্ত উদ্দীপকে 1m বাহুবিশিষ্ট ABCD বর্গক্ষেত্রের A, B ও C বিন্দুতে যথাক্রমে 2C, -2C ও 2C মানের চার্জ অবস্থিত। D বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য নির্ণয় এবং এর দিক বিশ্লেষণ করার জন্য চার্জসমূহের কারণে D বিন্দুতে উৎপন্ন পৃথক পৃথক তড়িৎ প্রাবল্য নির্ণয় করে ভেক্টর যোগের মাধ্যমে লব্ধি প্রাবল্য ও তার দিক নির্ণয় করতে হবে। এটি তড়িৎ প্রাবল্যের উপরিপাতন নীতির (Superposition Principle of Electric Field) প্রয়োগ।     

        গণনার সুবিধার জন্য D বিন্দুকে মূলবিন্দু (0,0) ধরে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (coordinate system) বিবেচনা করা হলো। চিত্র অনুযায়ী D(0,0), C(1,0), B(1,-1) এবং A(0,-1) হবে। বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য, \(a = 1\) m। কুলম্বের ধ্রুবক, \(k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2\) ধরা হলো।     

            
1.                 A বিন্দুর চার্জ \(q_A = +2C\) এর জন্য D বিন্দুতে প্রাবল্য (\(\vec{E}_{DA}\)):
                   A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-1) এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,0)।
                   দূরত্ব, \(r_{DA} = 1\) m
                   মান, \(E_{DA} = k \frac{q_A}{r_{DA}^2} = k \frac{2}{1^2} = 2k\)
                   দিক: A বিন্দুতে ধনাত্মক চার্জ থাকায় প্রাবল্য D থেকে A বিন্দুর বিপরীত দিকে অর্থাৎ ধনাত্মক y-অক্ষ বরাবর হবে।
                   অতএব, \(\vec{E}_{DA} = 2k \hat{j}\)
   
               
            
2.                 C বিন্দুর চার্জ \(q_C = +2C\) এর জন্য D বিন্দুতে প্রাবল্য (\(\vec{E}_{DC}\)):
                   C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1,0) এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,0)।
                   দূরত্ব, \(r_{DC} = 1\) m
                   মান, \(E_{DC} = k \frac{q_C}{r_{DC}^2} = k \frac{2}{1^2} = 2k\)
                   দিক: C বিন্দুতে ধনাত্মক চার্জ থাকায় প্রাবল্য D থেকে C বিন্দুর বিপরীত দিকে অর্থাৎ ঋণাত্মক x-অক্ষ বরাবর হবে।
                   অতএব, \(\vec{E}_{DC} = -2k \hat{i}\)
   
               
            
3.                 B বিন্দুর চার্জ \(q_B = -2C\) এর জন্য D বিন্দুতে প্রাবল্য (\(\vec{E}_{DB}\)):
                   B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1,-1) এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,0)।
                   দূরত্ব, \(r_{DB} = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\) m
                   মান, \(E_{DB} = k \frac{|q_B|}{r_{DB}^2} = k \frac{2}{(\sqrt{2})^2} = k \frac{2}{2} = k\)
                   দিক: B বিন্দুতে ঋণাত্মক চার্জ থাকায় প্রাবল্য D থেকে B বিন্দুর দিকে হবে। D(0,0) থেকে B(1,-1) এর দিকে ভেক্টর \(\vec{r}_{DB} = (1-0)\hat{i} + (-1-0)\hat{j} = \hat{i} - \hat{j}\)।
                   অতএব, \(\vec{E}_{DB} = E_{DB} \times \frac{\vec{r}_{DB}}{|\vec{r}_{DB}|} = k \frac{(\hat{i} - \hat{j})}{\sqrt{2}} = \frac{k}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{k}{\sqrt{2}} \hat{j}\)
   
               
            
4.                 D বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্য (\(\vec{E}_D\)):
                   লব্ধি প্রাবল্য হবে প্রতিটি প্রাবল্যের ভেক্টর যোগফল:
                   \(\vec{E}_D = \vec{E}_{DA} + \vec{E}_{DC} + \vec{E}_{DB}\)
                   \(\vec{E}_D = (2k \hat{j}) + (-2k \hat{i}) + (\frac{k}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{k}{\sqrt{2}} \hat{j})\)
                   \(\vec{E}_D = (-2k + \frac{k}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (2k - \frac{k}{\sqrt{2}}) \hat{j}\)
                   \(\vec{E}_D = k (-2 + \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{i} + k (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j}\)
                   এখানে, \(k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2\) এবং \(\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707\)।
                   তাহলে, \(-2 + \frac{1}{\sqrt{2}} \approx -2 + 0.707 = -1.293\)
                   এবং \(2 - \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 2 - 0.707 = 1.293\)
                   সুতরাং, \(\vec{E}_D = k (-1.293) \hat{i} + k (1.293) \hat{j}\)
                   
                   লব্ধি প্রাবল্যের মান, \(|\vec{E}_D| = \sqrt{[k (-2 + \frac{1}{\sqrt{2}})]^2 + [k (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})]^2}\)
                   যেহেতু \( (-X)^2 = X^2 \), তাই \( [k (-2 + \frac{1}{\sqrt{2}})]^2 = [k (-(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}))]^2 = [k (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})]^2 \)
                   \(|\vec{E}_D| = \sqrt{k^2 (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + k^2 (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2}\)
                   \(|\vec{E}_D| = \sqrt{2 k^2 (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2}\)
                   \(|\vec{E}_D| = k (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \sqrt{2}\)
                   \(|\vec{E}_D| = k (2\sqrt{2} - 1)\)
                   মান বসিয়ে:
                   \(|\vec{E}_D| = 9 \times 10^9 (2\sqrt{2} - 1)\)
                   \(|\vec{E}_D| \approx 9 \times 10^9 (2 \times 1.4142 - 1)\)
                   \(|\vec{E}_D| \approx 9 \times 10^9 (2.8284 - 1)\)
                   \(|\vec{E}_D| \approx 9 \times 10^9 (1.8284)\)
                   \(|\vec{E}_D| \approx 1.6456 \times 10^{10} \text{ N/C}\)
               
        

        প্রাপ্ত লব্ধি প্রাবল্যের ভেক্টর \(\vec{E}_D = k (-1.293) \hat{i} + k (1.293) \hat{j}\) থেকে দেখা যায় যে, এর x-উপাদান ঋণাত্মক এবং y-উপাদান ধনাত্মক। এর অর্থ হলো লব্ধি প্রাবল্য দ্বিতীয় চতুর্ভাগে (second quadrant) অবস্থিত। যদি ধনাত্মক x-অক্ষের সাথে লব্ধি প্রাবল্য \(\phi\) কোণ তৈরি করে, তাহলে,
        \(\tan \alpha = \left| \frac{E_y}{E_x} \right| = \left| \frac{k (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})}{k (-2 + \frac{1}{\sqrt{2}})} \right| = \left| \frac{1.293k}{-1.293k} \right| = 1\)
        \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\)
        যেহেতু ভেক্টরটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, ধনাত্মক x-অক্ষের সাথে এর কোণ হবে \(180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)। জ্যামিতিকভাবে, D বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্যের দিকটি ঋণাত্মক x-অক্ষ (DC বাহুর বাম দিকে বর্ধিত রেখা) থেকে ধনাত্মক y-অক্ষের (DA বাহুর উপরের দিকে বর্ধিত রেখা) সাথে \(45^\circ\) কোণ করে অবস্থান করবে।     

        সুতরাং, ABCD বর্গক্ষেত্রের D বিন্দুতে লব্ধি তড়িৎ প্রাবল্যের মান প্রায় \(1.6456 \times 10^{10} \text{ N/C}\) এবং এর দিক ধনাত্মক x-অক্ষ থেকে \(135^\circ\) কোণে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।