পাম্পের ক্ষমতা বের কর।

কার্য শক্তি উপপাদ্য: কোনো কণার উপর ক্রিয়াশীল মোট বল দ্বারা কৃতকার্য তার গতিশক্তি পরিবর্তনের সমান হয়, সুতরাং,
কৃতকার্য = (গতিশক্তি)অন্তিম – (গতিশক্তি)প্রারম্ভিক = ∆গতিশক্তি

গতিশক্তি শুধুমাত্র শূন্য বা ধনাত্মক হতে পারে। এটা কখনই ঋণাত্মক হতে পারে না। এর কারণ হল গতিশক্তিকে অর্ধেক বস্তুর ভরকে বস্তুর বেগের বর্গ দ্বারা গুণিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি বস্তুর গতিশক্তি হল তার গতির কারণে সৃষ্ট শক্তি; যদি জিনিসটি যে কোনও উপায়ে চলে, তবে এতে ধনাত্মক গতিশক্তি থাকে।

হ্যাঁ, কূপটির ১ম চতুর্ভাগ ও ৪র্থ চতুর্ভাগ পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময়ের তারতম্য হবে। ৪র্থ চতুর্ভাগ পানিশূন্য করতে ১ম চতুর্ভাগের চেয়ে অনেক বেশি সময় লাগবে। এর কারণ হলো, অভিকর্ষ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয় এবং এই কাজের পরিমাণ পানির ভর এবং যে উচ্চতায় পানিকে ওঠানো হচ্ছে তার গুণফলের উপর নির্ভরশীল। পাম্পের ক্ষমতা স্থির থাকলে, যে অংশে বেশি কাজ করতে হয়, সেই অংশ পানিশূন্য করতে বেশি সময় লাগে। কূপের উপরের দিকের পানির তুলনায় নিচের দিকের পানিকে বেশি উচ্চতায় তুলতে হয়, তাই নিচের দিকের পানি উত্তোলন করতে বেশি কাজ করতে হয়।

উদ্দীপক অনুযায়ী, একটি পানিপূর্ণ কূপের গভীরতা (h) = 20 m এবং ব্যাস (D) = 2 m, সুতরাং ব্যাসার্ধ (r) = 1 m। পাম্পটি 30 min বা 1800 s এ কূপটিকে পানিশূন্য করতে পারে। পানির ঘনত্ব (\(\rho\)) = 1000 kg/m³ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 9.8 ms^-2।

প্রথমে, সম্পূর্ণ কূপটিকে পানিশূন্য করতে মোট কৃতকার্য (W_total) এবং পাম্পের ক্ষমতা (P) নির্ণয় করি:

সম্পূর্ণ কূপের পানির আয়তন, \(V = \pi r^2 h = \pi (1)^2 (20) = 20\pi \text{ m}^3\)

সম্পূর্ণ কূপের পানির ভর, \(M = \rho V = 1000 \times 20\pi = 20000\pi \text{ kg}\)

সম্পূর্ণ কূপের পানিকে উত্তোলনের গড় উচ্চতা \( = \frac{h}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ m}\)

সুতরাং, সম্পূর্ণ কূপের পানি উত্তোলন করতে মোট কৃতকার্য, \(W_{total} = Mg \frac{h}{2} = 20000\pi \times 9.8 \times 10 = 1960000\pi \text{ J}\)

পাম্পের ক্ষমতা, \(P = \frac{W_{total}}{T_{total}} = \frac{1960000\pi}{1800} = \frac{9800\pi}{9} \text{ W}\)

এবার কূপের ১ম চতুর্ভাগ (উপরের 5 m) এবং ৪র্থ চতুর্ভাগের (নিচের 5 m) পানি উত্তোলন করতে প্রয়োজনীয় কাজ নির্ণয় করি। এখানে y গভীরতার একটি ক্ষুদ্রাতি ক্ষুদ্র পানির স্তর dy কে উত্তোলন করতে কৃতকার্য \(dW = (\rho \pi r^2 dy) g y\)।

১ম চতুর্ভাগ (গভীরতা 0 থেকে h/4 = 5 m) এর জন্য কৃতকার্য, \(W_{1st} = \int_{0}^{h/4} \rho \pi r^2 g y dy = \rho \pi r^2 g \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{h/4}\)

\(W_{1st} = \rho \pi r^2 g \frac{(h/4)^2}{2} = 1000 \times \pi \times (1)^2 \times 9.8 \times \frac{(20/4)^2}{2}\)

\(W_{1st} = 1000 \times \pi \times 9.8 \times \frac{5^2}{2} = 1000 \times \pi \times 9.8 \times \frac{25}{2} = 122500\pi \text{ J}\)

১ম চতুর্ভাগ পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময়, \(t_{1st} = \frac{W_{1st}}{P} = \frac{122500\pi}{(9800\pi/9)} = \frac{122500 \times 9}{9800} = 112.5 \text{ s}\)

৪র্থ চতুর্ভাগ (গভীরতা 3h/4 = 15 m থেকে h = 20 m) এর জন্য কৃতকার্য, \(W_{4th} = \int_{3h/4}^{h} \rho \pi r^2 g y dy = \rho \pi r^2 g \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{3h/4}^{h}\)

\(W_{4th} = \rho \pi r^2 g \left( \frac{h^2}{2} - \frac{(3h/4)^2}{2} \right) = 1000 \times \pi \times (1)^2 \times 9.8 \times \left( \frac{20^2}{2} - \frac{(3 \times 20/4)^2}{2} \right)\)

\(W_{4th} = 1000 \times \pi \times 9.8 \times \left( \frac{400}{2} - \frac{15^2}{2} \right) = 1000 \times \pi \times 9.8 \times \left( 200 - \frac{225}{2} \right)\)

\(W_{4th} = 1000 \times \pi \times 9.8 \times (200 - 112.5) = 1000 \times \pi \times 9.8 \times 87.5 = 857500\pi \text{ J}\)

৪র্থ চতুর্ভাগ পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময়, \(t_{4th} = \frac{W_{4th}}{P} = \frac{857500\pi}{(9800\pi/9)} = \frac{857500 \times 9}{9800} = 787.5 \text{ s}\)

সুতরাং, ১ম চতুর্ভাগ পানিশূন্য করতে সময় লাগে 112.5 s এবং ৪র্থ চতুর্ভাগ পানিশূন্য করতে সময় লাগে 787.5 s। দেখা যাচ্ছে যে, ৪র্থ চতুর্ভাগ পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময় ১ম চতুর্ভাগের চেয়ে অনেক বেশি (787.5 s - 112.5 s = 675 s) হবে। এর কারণ হলো, কূপের নিচের দিকের পানিকে পাম্পকে বেশি উচ্চতা পর্যন্ত উত্তোলন করতে হয়, যার ফলে অভিকর্ষ বলের বিরুদ্ধে বেশি কাজ সম্পন্ন করতে হয়। পাম্পের ক্ষমতা যেহেতু স্থির, তাই বেশি কাজ সম্পন্ন করতে বেশি সময় প্রয়োজন হবে।