পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে 600 km উচ্চতায় একটি কৃত্রিম উপগ্রহ স্থাপন করা হলো। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 km এবং পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms^-2।

ভূ-স্থির উপগ্রহ হলো এমন একটি কৃত্রিম উপগ্রহ যা নিরক্ষীয় তলে পৃথিবীর ঘূর্ণনের সাথে একই কৌণিক বেগে পশ্চিম থেকে পূর্বে আবর্তন করে। এর ফলে ভূপৃষ্ঠ থেকে উপগ্রহটিকে স্থির বলে মনে হয়। একটি ভূ-স্থির উপগ্রহের প্রধান বৈশিষ্ট্য হলো এর কক্ষপথের পর্যায়কাল পৃথিবীর আহ্নিক গতির পর্যায়কালের সমান, অর্থাৎ 24 ঘন্টা (বা 86400 সেকেন্ড)। এই উপগ্রহ পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে প্রায় 35,786 km উচ্চতায় অবস্থান করে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত উপগ্রহটিকে ভূ-স্থির উপগ্রহে রূপান্তর করা সম্ভব কি না, তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে পরীক্ষা করা যাক। প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

    
• উপগ্রহের উচ্চতা, \(h = 600 \text{ km} = 600 \times 10^3 \text{ m}\)
    
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, \(R = 6400 \text{ km} = 6400 \times 10^3 \text{ m}\)
    
• পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)

উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, \(r = R+h = (6400 + 600) \text{ km} = 7000 \text{ km} = 7 \times 10^6 \text{ m}\) কক্ষপথে আবর্তনশীল উপগ্রহের পর্যায়কালের সূত্রটি হলো: \[T = 2\pi\sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}\] মান বসিয়ে পাই: \[T = 2\pi\sqrt{\frac{(7 \times 10^6)^3}{9.8 \times (6400 \times 10^3)^2}}\] \[T = 2\pi\sqrt{\frac{343 \times 10^{18}}{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}}\] \[T = 2\pi\sqrt{\frac{343 \times 10^{18}}{9.8 \times 40.96 \times 10^{12}}}\] \[T = 2\pi\sqrt{\frac{343 \times 10^{18}}{401.408 \times 10^{12}}}\] \[T = 2\pi\sqrt{0.8545 \times 10^6}\] \[T = 2\pi \times 924.4\] \[T \approx 5809.9 \text{ s}\] প্রাপ্ত পর্যায়কালকে ঘন্টায় রূপান্তর করলে পাই: \[T \approx \frac{5809.9}{3600} \text{ hours} \approx 1.614 \text{ hours}\]

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, উদ্দীপকের উপগ্রহটি 600 km উচ্চতায় স্থাপন করায় তার পর্যায়কাল হয়েছে প্রায় 1.614 ঘন্টা। কিন্তু একটি ভূ-স্থির উপগ্রহের পর্যায়কাল অবশ্যই 24 ঘন্টা হতে হবে। যেহেতু উপগ্রহটির পর্যায়কাল 24 ঘন্টা নয়, তাই এই উচ্চতায় এটি ভূ-স্থির উপগ্রহ হিসেবে কাজ করতে পারবে না। ভূ-স্থির উপগ্রহ হতে হলে উপগ্রহটিকে পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে প্রায় 35,786 km উচ্চতায় একটি নির্দিষ্ট কক্ষপথে স্থাপন করতে হবে, যাতে তার পর্যায়কাল 24 ঘন্টা হয়।

সুতরাং, উদ্দীপকের 600 km উচ্চতায় স্থাপিত উপগ্রহটিকে সরাসরি ভূ-স্থির উপগ্রহে রূপান্তর করা সম্ভব নয়। এটি যদি ভূ-স্থির উপগ্রহ হতে চায়, তবে এর কক্ষপথের উচ্চতা পরিবর্তন করে ভূ-স্থির কক্ষপথের উচ্চতায় (প্রায় 35,786 km) নিয়ে যেতে হবে। কক্ষপথের উচ্চতার সাথে পর্যায়কালের সম্পর্ক সরাসরি জড়িত বিধায় বর্তমান উচ্চতায় ভূ-স্থির হওয়া সম্ভব নয়।