প্রথম পাম্পের কৃত কাজ নির্ণয় কর।

কৈশিক নলে পারদের অবনমনের মূল কারণ হলো পারদের অণুগুলোর মধ্যে সংশক্তি বল (Cohesive force) এবং পারদ ও কাঁচের অণুগুলোর মধ্যে আসঞ্জন বলের (Adhesive force) ভিন্নতা। পারদের সংশক্তি বল, পারদ ও কাঁচের মধ্যেকার আসঞ্জন বলের চেয়ে অনেক বেশি শক্তিশালী হয়।

এ কারণে পারদ কাঁচের দেয়ালকে ভেজাতে চায় না এবং কৈশিক নলের মধ্যে পারদের উপরিভাগ অবতল না হয়ে উত্তল আকার ধারণ করে। পৃষ্ঠটানের প্রভাবে এই উত্তল পৃষ্ঠ তার নিচে থাকা পারদের উপর একটি নিম্নমুখী চাপ সৃষ্টি করে। ফলে, নলের ভেতরের পারদের চাপ বাইরের বায়ুমণ্ডলীয় চাপের চেয়ে বেশি হওয়ায় পারদ নলের নিচে নেমে আসে বা অবনমন ঘটে, যতক্ষণ না ভেতরের চাপ বাইরের চাপের সমান হয়।

উদ্দীপকে একটি পানিপূর্ণ কুয়াকে নির্দিষ্ট গভীরতা ও ব্যাস সহকারে একটি পাম্প দ্বারা পানিশূন্য করার এবং পরবর্তীতে আরও একটি পাম্প যুক্ত করে সময় সাশ্রয়ের একটি পরিস্থিতি তুলে ধরা হয়েছে। এই সমস্যাটিতে মূলত পাম্পের ক্ষমতা ও কাজ-সময়-ক্ষমতার সম্পর্ক ব্যবহার করে কুয়াটিকে পানিশূন্য করতে মোট কতটুকু কাজ করতে হবে এবং উভয় পাম্প একসাথে কাজ করলে কত সময় সাশ্রয় হবে তা নির্ণয় করতে হবে। এটি পদার্থবিজ্ঞানের কাজ, ক্ষমতা ও শক্তি অধ্যায়ের একটি বাস্তবভিত্তিক গাণিতিক প্রয়োগ।

প্রথমে কুয়া থেকে পানি তুলতে প্রয়োজনীয় কাজ নির্ণয় করতে হবে। কুয়ার গভীরতা \(h = 10\) m এবং ব্যাস \(d = 2\) m হওয়ায় এর ব্যাসার্ধ \(r = 1\) m। কুয়াতে পানির আয়তন \(V = \pi r^2 h = \pi (1)^2 (10) = 10\pi\) m\(^3\)। পানির ঘনত্ব \(\rho = 1000\) kg/m\(^3\) হলে পানির ভর \(M = V\rho = 10\pi \times 1000 = 10000\pi\) kg। কুয়ার সম্পূর্ণ পানি তুলতে হলে, এর ভরকেন্দ্রকে \(h/2\) পরিমাণ উচ্চতায় তুলতে হয়। সুতরাং, প্রয়োজনীয় কাজ \(W = Mg \frac{h}{2}\), যেখানে \(g = 9.8\) m/s\(^2\)। কাজ \(W = 10000\pi \times 9.8 \times \frac{10}{2} = 490000\pi\) জুল। প্রথম পাম্পটি 20 মিনিটে (1200 সেকেন্ড) এই কাজ করতে পারে, তাই প্রথম পাম্পের ক্ষমতা \(P_1 = \frac{W}{t_1} = \frac{490000\pi}{1200} \approx 1282.82\) ওয়াট।

এরপর, প্রথম পাম্পের সাথে আরও একটি 1 HP (হর্সপাওয়ার) ক্ষমতার পাম্প যুক্ত করা হয়। আমরা জানি, 1 HP = 746 ওয়াট। সুতরাং, দ্বিতীয় পাম্পের ক্ষমতা \(P_2 = 746\) ওয়াট। যখন উভয় পাম্প একসাথে কাজ করে, তখন তাদের সম্মিলিত ক্ষমতা হবে \(P_{মোট} = P_1 + P_2 = 1282.82 + 746 = 2028.82\) ওয়াট। একই পরিমাণ কাজ \(W\) করতে উভয় পাম্পের প্রয়োজনীয় সময় \(t_{মোট} = \frac{W}{P_{মোট}} = \frac{490000\pi}{2028.82} \approx \frac{1539380.4}{2028.82} \approx 758.75\) সেকেন্ড।

প্রথম পাম্প দ্বারা কুয়াটি পানিশূন্য করতে সময় লেগেছিল \(t_1 = 1200\) সেকেন্ড। উভয় পাম্প দ্বারা সময় লেগেছে \(t_{মোট} = 758.75\) সেকেন্ড। সুতরাং, সময় সাশ্রয় হয় \(\Delta t = t_1 - t_{মোট} = 1200 - 758.75 = 441.25\) সেকেন্ড। এই সময়কে মিনিটে প্রকাশ করলে হয় \(\frac{441.25}{60} \approx 7.354\) মিনিট। গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, দ্বিতীয় পাম্পটি যুক্ত করায় প্রায় 7.35 মিনিট সময় সাশ্রয় হবে, যা কুয়া থেকে পানি তোলার কাজটি দ্রুত সম্পন্ন করতে সাহায্য করবে এবং কার্যদক্ষতা বৃদ্ধি করবে।