প্রথম স্থির বস্তুর ভর কত? নির্ণয় কর। (প্রয়োগ)

পূর্ণ স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ এবং পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ এক নয়, বরং ভিন্ন প্রকৃতির।

পূর্ণ স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে (perfectly elastic collision) বস্তুর মোট রৈখিক ভরবেগ (linear momentum) এবং মোট গতিশক্তি (kinetic energy) উভয়ই সংরক্ষিত থাকে। অন্যদিকে, পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে (perfectly inelastic collision) কেবল মোট রৈখিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে, কিন্তু মোট গতিশক্তি সংরক্ষিত থাকে না। এক্ষেত্রে গতিশক্তির কিছু অংশ তাপ, শব্দ বা বস্তুর বিকৃতিতে রূপান্তরিত হয় এবং সংঘর্ষের পর বস্তুগুলো সাধারণত একে অপরের সাথে লেগে একসাথে চলতে থাকে।

    সংঘর্ষ মূলত দুই প্রকারের হতে পারে: স্থিতিস্থাপক (Elastic) ও অস্থিতিস্থাপক (Inelastic)। যে সংঘর্ষে ভরবেগ (Momentum) এবং গতিশক্তি (Kinetic Energy) উভয়ই সংরক্ষিত থাকে, তাকে স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ বলে। অপরদিকে, যে সংঘর্ষে ভরবেগ সংরক্ষিত থাকলেও গতিশক্তি সংরক্ষিত থাকে না, তাকে অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ বলে। উদ্দীপকের সংঘর্ষটি স্থিতিস্থাপক নাকি অস্থিতিস্থাপক তা গাণিতিকভাবে যাচাই করার জন্য উভয় বস্তুর গতিশক্তির পরিবর্তন বিশ্লেষণ করতে হবে।

    উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,     
প্রথম বস্তুর ভর, \(m_1 = 7 \text{ kg}\)     
প্রথম বস্তুর আদিবেগ, \(u_1 = 8 \text{ ms}^{-1}\)     
দ্বিতীয় বস্তুটি স্থির ছিল, তাই এর আদিবেগ, \(u_2 = 0 \text{ ms}^{-1}\)     
প্রথম বস্তুর শেষ বেগ, \(v_1 = \frac{u_1}{4} = \frac{8}{4} = 2 \text{ ms}^{-1}\) (একই দিকে)     

প্রাথমিক মোট গতিশক্তি (\(KE_i\)):     
\(KE_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2\)     
\(KE_i = \frac{1}{2} (7)(8)^2 + \frac{1}{2} m_2 (0)^2\)     
\(KE_i = \frac{1}{2} \times 7 \times 64 + 0\)     
\(KE_i = 7 \times 32 = 224 \text{ J}\)     

ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী:     
সংঘর্ষে ভরবেগ সর্বদা সংরক্ষিত থাকে।     
\(m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2\)     
\(7 \times 8 + m_2 \times 0 = 7 \times 2 + m_2 v_2\)     
\(56 = 14 + m_2 v_2\)     
\(m_2 v_2 = 56 - 14\)     
\(m_2 v_2 = 42 \text{ kg ms}^{-1} \dots (i)\)     

শেষ মোট গতিশক্তি (\(KE_f\)):     
\(KE_f = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2\)     
\(KE_f = \frac{1}{2} (7)(2)^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2\)     
\(KE_f = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2\)     
\(KE_f = 14 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2\)

    যদি সংঘর্ষটি স্থিতিস্থাপক হয়, তবে গতিশক্তি সংরক্ষিত থাকবে, অর্থাৎ \(KE_i = KE_f\)।     
\(224 = 14 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2\)     
\(210 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2\)     
সমীকরণ (i) থেকে আমরা পাই, \(v_2 = \frac{42}{m_2}\)। এই মানটি গতিশক্তির সমীকরণে বসিয়ে পাই:     
\(210 = \frac{1}{2} m_2 \left(\frac{42}{m_2}\right)^2\)     
\(210 = \frac{1}{2} m_2 \frac{1764}{m_2^2}\)     
\(210 = \frac{1}{2} \frac{1764}{m_2}\)     
\(210 = \frac{882}{m_2}\)     
\(m_2 = \frac{882}{210}\)     
\(m_2 = 4.2 \text{ kg}\)

    উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, যদি দ্বিতীয় বস্তুর ভর (\(m_2\)) ঠিক 4.2 kg হয়, তবেই এই সংঘর্ষটি স্থিতিস্থাপক হবে। উদ্দীপকে দ্বিতীয় বস্তুর ভর উল্লেখ না থাকায়, আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারছি না যে এটি 4.2 kg। যেহেতু বাস্তব জীবনে অধিকাংশ সংঘর্ষে কিছু পরিমাণ শক্তি (তাপ, শব্দ, বিকৃতি ইত্যাদি রূপে) অপচয় হয় এবং গতিশক্তি সংরক্ষিত থাকে না, তাই এই ধরনের অসম্পূর্ণ তথ্য দেওয়া থাকলে সাধারণত সংঘর্ষটিকে অস্থিতিস্থাপক হিসেবে বিবেচনা করা হয়। অর্থাৎ, দ্বিতীয় বস্তুর ভর 4.2 kg না হলে গতিশক্তি সংরক্ষিত থাকবে না। অতএব, উদ্দীপকের সংঘর্ষটি অস্থিতিস্থাপক।