প্রমাণ করুন ত্রিভুজের দুটি শীর্ষ বিন্দু হতে এদের বিপরীত বাহু দুটির উপর অঙ্কিত সমন্বয় সমান হলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু হবে।

উপপাদ্য ৮. যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত বাহু দুইটিও পরস্পর সমান হবে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC ত্রিভুজে ∠ABC = ∠ACB

প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC ।

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. যদি AB = AC হয়, তবে (i) AB > AC অথবা (i) AB < AC হবে।

মনে করি, (i) AB > AC AB থেকে AC এর সমান AD কেটে নিই। এখন, ADC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু। সুতরাং

∠ADC = ∠ACD [$\therefore$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান]

∆DBC এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADC > ∠ABC [$\therefore$ বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর]

$\therefore$ ∠ACD > ∠ABC । সুতরাং, ∠ACB > ∠ABC, কিন্তু তা প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ২. অনুরূপভাবে, (ii) AB < AC হলে দেখানো যায় যে

∠ABC > ∠ACB, কিন্তু তাও প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ৩. সুতরাং, AB > AC অথবা AB < AC হতে পারে না।

$\therefore$ AB = AC (প্রমাণিত)