প্রমাণ করো যে,  $AB + AC > 2AD$

দেওয়া আছে যে ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD এর একটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, \(AB + AC > 2AD\)।

যেহেতু AD, \(\triangle ABC\)-এর মধ্যমা, তাই D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর – এই উপপাদ্যটি ব্যবহার করে প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করা যাবে। এজন্য একটি সহায়ক অঙ্কন প্রয়োজন।

অঙ্কন: AD-কে E পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন AD = DE হয়। B, E এবং C, E যোগ করি।

প্রমাণ:

প্রথমে \(\triangle ABD\) এবং \(\triangle ECD\) বিবেচনা করি।

    
• \(AD = DE\) (অঙ্কন অনুসারে)
    
• \(BD = CD\) (যেহেতু AD মধ্যমা, D হলো BC-এর মধ্যবিন্দু)
    
• \(\angle ADB = \angle EDC\) (বিপ্রতীপ কোণ)

সুতরাং, \(\triangle ABD \cong \triangle ECD\) (SAS সর্বসমতা উপপাদ্য অনুসারে)।

অতএব, \(AB = EC\) (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

এখন, \(\triangle ACE\) তে, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হওয়ায়, আমরা পাই:

\(AC + CE > AE\)

যেহেতু \(CE = AB\), তাই উপরের অসমতাটি দাঁড়ায়:

\(AC + AB > AE\)

আমরা জানি, \(AE = AD + DE\)। যেহেতু \(DE = AD\) (অঙ্কন অনুসারে), আমরা লিখতে পারি:

\(AE = AD + AD = 2AD\)

অতএব, \(AC + AB > 2AD\)

সুতরাং, প্রমাণ হলো যে \(AB + AC > 2AD\)। প্রদত্ত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও এই উপপাদ্যটি প্রযোজ্য।