প্রমাণ করো যে, $4A{D}^2 = 3A{B}^2.$

প্রমাণ:

দেওয়া আছে, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD এর একটি মধ্যমা। যেহেতু ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ, এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, অর্থাৎ \(AB = BC = CA\)। সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা ভূমির উপর লম্ব হয় এবং ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই, AD মধ্যমাটি BC বাহুর উপর লম্ব, অর্থাৎ \(\angle ADB = 90^\circ\) এবং D হলো BC এর মধ্যবিন্দু। ফলস্বরূপ, \(BD = DC = \frac{1}{2} BC\)। যেহেতু \(BC = AB\), তাই \(DC = \frac{1}{2} AB\)।

এখন, \(\triangle ADC\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার \(\angle ADC = 90^\circ\)। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, আমরা পাই:

\(AC^2 = AD^2 + DC^2\)

আমরা জানি, \(AC = AB\) (যেহেতু ABC সমবাহু ত্রিভুজ) এবং \(DC = \frac{1}{2} AB\) (যেমনটি উপরে দেখানো হয়েছে)। এই মানগুলি সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(AB^2 = AD^2 + \left(\frac{1}{2} AB\right)^2\)

\(AB^2 = AD^2 + \frac{1}{4} AB^2\)

\(AB^2 - \frac{1}{4} AB^2 = AD^2\)

\(\frac{4AB^2 - AB^2}{4} = AD^2\)

\(\frac{3AB^2}{4} = AD^2\)

উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে পাই:

\(3AB^2 = 4AD^2\)

সুতরাং, প্রমাণ করা হলো যে, \(4AD^2 = 3AB^2\)। (প্রমাণিত)