প্রমাণ কর যে,  $a^{3}cos(2C+A-\mathrm{\pi })+b^3.cos(2A+B-\mathrm{\pi })=3abc-c^{3}cos(2B+C-\mathrm{\pi })$

আমরা জানি,

যদি \(A+B = 45^\circ\) হয়, তাহলে,

\[ \tan(A+B) = \tan 45^\circ = 1 \]

ট্যানজেন্ট যোগফলের সূত্র (tangent addition formula) অনুযায়ী, আমরা জানি:

\[ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \]

এখন, \( \tan(A+B) = 1 \) হওয়ায়, আমরা লিখতে পারি:

\[ \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1 \]

উভয় পক্ষকে \( (1 - \tan A \tan B) \) দ্বারা গুণ করে পাই:

\[ \tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B \]

ডান পাশের \( (-\tan A \tan B) \) কে বাম পাশে নিয়ে এলে আমরা পাই:

\[ \tan A + \tan B + \tan A \tan B = 1 \]

প্রদত্ত সমস্যাটিতে, যদি \(A = 33^\circ\) এবং \(B = 12^\circ\) হয়, তাহলে তাদের যোগফল হবে:

\[ A+B = 33^\circ + 12^\circ = 45^\circ \]

যেহেতু \(A+B = 45^\circ\) শর্তটি পূরণ হয়েছে, তাই আমরা উপরের সূত্রটি সরাসরি প্রয়োগ করতে পারি।

অতএব,

\[ \tan 33^\circ + \tan 12^\circ + \tan 33^\circ \tan 12^\circ = 1 \]

(প্রমাণিত)