প্রমাণ কর যে, $\angle NCM+ \angle PCQ =$দুই সমকোণ। 

প্রদত্ত: C কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে MNPQ একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। এর NQ এবং MP কর্ণদ্বয় পরস্পরকে R বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে: $\angle NCM+ \angle PCQ =$দুই সমকোণ।

প্রমাণ:

আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।

চাপ NM এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ হলো \( \angle NCM \) এবং পরিধিস্থ কোণ \( \angle NPM \) অথবা \( \angle NQM \)।

অতএব, \( \angle NCM = 2 \angle NPM \) . . . . . . (i)

আবার, চাপ PQ এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ হলো \( \angle PCQ \) এবং পরিধিস্থ কোণ \( \angle PMQ \) অথবা \( \angle PNQ \)।

অতএব, \( \angle PCQ = 2 \angle PMQ \) . . . . . . (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

\( \angle NCM + \angle PCQ = 2 \angle NPM + 2 \angle PMQ \)

\( \angle NCM + \angle PCQ = 2 (\angle NPM + \angle PMQ) \) . . . . . . (iii)

যেহেতু কর্ণদ্বয় NQ এবং MP পরস্পরকে R বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে, অতএব \( \angle MRQ = 90^\circ \)।

এখন, \( \triangle MRQ \) ত্রিভুজ থেকে পাই,

\( \angle RMQ + \angle RQM + \angle MRQ = 180^\circ \) (ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ)

\( \angle RMQ + \angle RQM + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \angle RMQ + \angle RQM = 180^\circ - 90^\circ \)

\( \angle RMQ + \angle RQM = 90^\circ \)

এখানে, \( \angle RMQ \) কোণটি \( \angle PMQ \) এর সমান এবং \( \angle RQM \) কোণটি \( \angle NQM \) এর সমান।

সুতরাং, \( \angle PMQ + \angle NQM = 90^\circ \) . . . . . . (iv)

একই চাপ NM এর উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণদ্বয় \( \angle NPM \) এবং \( \angle NQM \)।

অতএব, \( \angle NPM = \angle NQM \) . . . . . . (v)

(v) নং সমীকরণ থেকে \( \angle NQM \) এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\( \angle PMQ + \angle NPM = 90^\circ \)

এখন, এই মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\( \angle NCM + \angle PCQ = 2 (\angle NPM + \angle PMQ) \)

\( \angle NCM + \angle PCQ = 2 \times 90^\circ \)

\( \angle NCM + \angle PCQ = 180^\circ \)

\( \angle NCM + \angle PCQ = \) দুই সমকোণ।

(প্রমাণিত)