প্রমাণ কর যে, $\angle BOC = 90° + \frac{1}{2}\angle A$

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, ΔABC একটি ত্রিভুজ যেখানে ∠B এবং ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle BOC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A\)। এই প্রমাণটি জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য এবং এটি ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র (incenter) সম্পর্কিত ধারণা ব্যাখ্যা করে।

উদ্দীপক থেকে আমরা জানি যে, ΔABC এর ∠B এর সমদ্বিখণ্ডক হলো BO এবং ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক হলো CO। এর অর্থ হলো, BO, ∠ABC কে সমদ্বিখণ্ডিত করে অর্থাৎ, \(\angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC\) এবং CO, ∠ACB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে অর্থাৎ, \(\angle OCB = \frac{1}{2}\angle ACB\)। এই তথ্যগুলো ব্যবহার করে আমরা ΔBOC এর কোণগুলো বিশ্লেষণ করতে পারি।

এখন, ΔBOC এর তিনটি কোণের সমষ্টি \(= 180^\circ\)।

অতএব, \(\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ\)

বা, \(\angle BOC + \frac{1}{2}\angle ABC + \frac{1}{2}\angle ACB = 180^\circ\)

বা, \(\angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)\)

আমরা জানি যে, ΔABC এর তিনটি কোণের সমষ্টি \(= 180^\circ\)।

অর্থাৎ, \(\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\)

বা, \(\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle A\)

এই মানটি পূর্বের সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(\angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A)\)

বা, \(\angle BOC = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A\)

অতএব, \(\angle BOC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A\)

উপরোক্ত বিশ্লেষণের মাধ্যমে উদ্দীপকের প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে আমরা প্রমাণ করতে সক্ষম হয়েছি যে, \(\angle BOC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A\)। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক উপপাদ্য যা ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ সমদ্বিখণ্ডক সংক্রান্ত সম্পর্ক স্থাপন করে।