প্রমাণ কর যে, $P\sqrt{P}+\frac{1}{P\sqrt{P}}=10\sqrt{2}.$

দেওয়া আছে,

\(P = 3 + 2\sqrt{2}\)

প্রথমে, \(\frac{1}{P}\) এর মান নির্ণয় করি:

\(\frac{1}{P} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}\)

\(= \frac{1 \times (3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}\)

\(= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2}\)

\(= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8}\)

\(= 3 - 2\sqrt{2}\)

এখন, \(\sqrt{P}\) এর মান নির্ণয় করি:

আমরা জানি, \(P = 3 + 2\sqrt{2}\)

\(= (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2\)

\(= (\sqrt{2} + 1)^2\)

সুতরাং, \(\sqrt{P} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1\)

বামপক্ষ \( = P\sqrt{P} + \frac{1}{P\sqrt{P}}\)

প্রথমে \(P\sqrt{P}\) এর মান বের করি:

\(P\sqrt{P} = (3 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)\)

\(= 3\sqrt{2} + 3 \cdot 1 + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 2\sqrt{2} \cdot 1\)

\(= 3\sqrt{2} + 3 + 4 + 2\sqrt{2}\)

\(= 7 + 5\sqrt{2}\)

এবার \(\frac{1}{P\sqrt{P}}\) এর মান বের করি:

\(\frac{1}{P\sqrt{P}} = \frac{1}{7 + 5\sqrt{2}}\)

\(= \frac{1 \times (7 - 5\sqrt{2})}{(7 + 5\sqrt{2})(7 - 5\sqrt{2})}\)

\(= \frac{7 - 5\sqrt{2}}{7^2 - (5\sqrt{2})^2}\)

\(= \frac{7 - 5\sqrt{2}}{49 - 25 \times 2}\)

\(= \frac{7 - 5\sqrt{2}}{49 - 50}\)

\(= \frac{7 - 5\sqrt{2}}{-1}\)

\(= -(7 - 5\sqrt{2})\)

\(= -7 + 5\sqrt{2}\)

এখন, বামপক্ষ (LHS) এর মান নির্ণয় করি:

বামপক্ষ \( = P\sqrt{P} + \frac{1}{P\sqrt{P}}\)

\(= (7 + 5\sqrt{2}) + (-7 + 5\sqrt{2})\)

\(= 7 + 5\sqrt{2} - 7 + 5\sqrt{2}\)

\(= 10\sqrt{2}\)

ডানপক্ষ (RHS) \( = 10\sqrt{2}\)

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অতএব, \(P\sqrt{P} + \frac{1}{P\sqrt{P}} = 10\sqrt{2}\) (প্রমাণিত)