সমাধান: সাধারণ নির্বচন: প্রমাণ করতে হবে যে, আয়তের সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুসমূহের যোগে যে চতুর্ভুজ হয়, তা একটি রম্বস।
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCD একটি আয়ত। এর AB, BC, CD এবং AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R এবং S। P,Q; Q, R; R,S এবং S,P যোগ করলে PQRS একটি চতুর্ভুজ উৎপন্ন হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি রম্বস।ছবির লেখাটিকে আমি টেক্সটে পরিষ্কারভাবে লিখে দিলাম:
অঙ্কন: A, C; B, D; P, R এবং S, Q যোগ করি।
প্রমাণ:
(১) ΔAB ও ΔBCD এর সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুগুলোর সংযোজক রেখাংশ যথাক্রমে PS এবং QR।
∴ PS ∥ BD এবং QR ∥ BD এবং PS = ½BD = QR।
[ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক]
∴ PS = QR এবং PS ∥ QR
অনুরূপভাবে, ΔABC ও ΔADC নিয়ে প্রমাণ করা যায় যে, PQ = SR এবং PQ ∥ SR
(২) এখন, ΔAPS ও ΔBPQ-এ
AP = BP; [∵ P, AB এর মধ্যবিন্দু]
AS = BQ; [∵ আয়তের বিপরীত বাহুর অর্ধেক পরস্পর সমান]
এবং ∠PAS = ∠PBQ (প্রত্যেকে 90°)
∴ ΔAPS ≅ ΔBPQ
∴ PS = PQ
(৩) PQRS চতুর্ভুজের সমস্ত বাহু পরস্পর সমান। অর্থাৎ,
PQ = QR = SR = PS এবং বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল।
⇒ (১) ও (২) থেকে,
∴ PQRS একটি রম্বস। (প্রমাণিত)
Related Question
View Allসাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের যেকোনো দুটি সারিবদ্ধ কোণের সমদ্বিখণ্ডক পরস্পরের উপর লম্ব।
বিশেষ নির্বাচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক। এর সারিবদ্ধ ∠ABC ও ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক BO ও CO পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, BO এবং CO পরস্পরের উপর লম্ব। অর্থাৎ, ∠BOC = একটি সমকোণ।
(১) ABCD সামান্তরিকের AB ∥ CD এবং BC ছেদক।
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°
[সামান্তরিকের সারিবদ্ধ কোণগুলোর সমষ্টি ২ সমকোণ]
∴ ½∠ABC + ½∠BCD = 90°
অর্থাৎ, ∠OBC + ∠OCB = 90°
[∵ BO ও CO যথাক্রমে ∠ABC ও ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক]
(২) এখন, ΔOBC এ,
∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°
[∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180° বা দুই সমকোণ]
∴ ∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB)
∴ ∠BOC = 180° – 90°
∴ ∠BOC = 90°
অতএব, OB এবং OC পরস্পরের উপর লম্ব। (প্রমাণিত)
অঙ্কন:
DF কে বৃদ্ধি করি এবং CG ∥ DB আঁকি।
DF-এর বৃদ্ধিতাংশ CG কে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: ছবির লেখাটি আমি ধাপে ধাপে সাজিয়ে দিলাম:
(১) ΔADF এবং ΔCGF-এ
- ∠AFD = ∠CFG [বিপরীত কোণ]
- AF = CF [∵ F, AC-এর মধ্যবিন্দু]
- ∠DAF = ∠FCG [∵ AD ∥ CG এবং AC এদের ছেদক]
অতএব, ΔADF ≅ ΔCGF [ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
⇒ DF = FG এবং AD = CG
(২) BD = AD; [∵ D, AB-এর মধ্যবিন্দু]
∴ BD = CG
⇒ BDGC একটি সামান্তরিক
[∵ BD = CG এবং BD ∥ CG]
∴ DG = BC এবং DG ∥ BC
অর্থাৎ, 2DF = BC এবং DF ∥ BC [∵ DF = FG]
⇒ DF = ½ BC এবং DF ∥ BC (প্রমাণিত)
AB ভূমিবিশিষ্ট দুইটি
ত্রিভুজ হলো ∆ABC ও
ABD
বিশেষ নির্বচন: ABCD একটি চতুর্ভুজ যার AC ও BD দুইটি অসমান কর্ণ এবং এর যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, AB = CD এবং AD = BC
প্রমাণ: ধাপ
(১) ও -এর,
, সাধারণ বাহু।
[∵ এবং এদের ছেদক]
∴
[ত্রিভুজের বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
অতএব, এবং
কিন্তু ও হলো ও বাহুদ্বয়ের
ছেদক দ্বারা উৎপন্ন একান্তর কোণ।
∴
অতএব, এবং (প্রমাণিত)।
দেখাতে হবে যে, এবং ।
প্রমাণ : ধাপ
(১) যেহেতু ও রেখা সমান্তরাল
এবং ও তাদের দুটি ছেদক,
সেহেতু [একান্তর কোণ]
∴
এবং [একান্তর কোণ]
∴
(২) ও -এর,
,
এবং
∴ ; [ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
অতএব, এবং (প্রমাণিত)।
দেওয়া আছে,
আমরা জানি, সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণগুলোর সমষ্টি ।
অথবা,
অথবা,
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
