প্রমাণ কর যে, কোনো বর্গক্ষেত্র তার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক।

ধরি, একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য \( a \) একক।

তাহলে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \( a^2 \) বর্গএকক।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য \( d \) হলে,

\( d^2 = a^2 + a^2 \)

\( d^2 = 2a^2 \)

\( d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \) একক।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে \( d \)।

সুতরাং, কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \( d^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2 \) বর্গএকক।

এখন, মূল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (\( a^2 \)) এবং কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (\( 2a^2 \)) তুলনা করলে দেখা যায় যে,

\( a^2 = \frac{1}{2} \times 2a^2 \)

অর্থাৎ, একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।