প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হলে এবং পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত B করলে, তা একটি বর্গ।

বিশেষ নির্বচন:

উদ্দিপক অনুযায়ী, চিত্র থেকে পাই \(BDFE\) একটি চতুর্ভুজ।

প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle BDF + \angle DFE + \angle FEB + \angle EBD =\) চার সমকোণ।

অঙ্কন:

\(DE\) যোগ করি।

প্রমাণ:

\(DE\) কর্ণ চতুর্ভুজ \(BDFE\)-কে দুটি ত্রিভুজ \(\triangle BDE\) এবং \(\triangle DEF\)-এ বিভক্ত করে।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা \(180^\circ\)।

\(\triangle BDE\)-এর ক্ষেত্রে,

\(\angle EBD + \angle BDE + \angle DEB =\) ২ সমকোণ ...... (i)

\(\triangle DEF\)-এর ক্ষেত্রে,

\(\angle EDF + \angle DFE + \angle FED =\) ২ সমকোণ ...... (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

\(\angle EBD + (\angle BDE + \angle EDF) + \angle DFE + (\angle DEB + \angle FED) =\) ২ সমকোণ + ২ সমকোণ

চিত্র হতে পাই,

\(\angle BDE + \angle EDF = \angle BDF\)

এবং \(\angle DEB + \angle FED = \angle FEB\)

মানগুলো বসিয়ে পাই,

\(\angle EBD + \angle BDF + \angle DFE + \angle FEB =\) ৪ সমকোণ

সুতরাং, \(\angle BDF + \angle DFE + \angle FEB + \angle EBD =\) চার সমকোণ। (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন:

দেওয়া আছে, \(\triangle ABC\)-এর \(AB\) ও \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D\) ও \(F\)। \(D\) ও \(F\) যোগ করা হলো।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(DF \parallel BC\) এবং \(DF = \frac{1}{2}BC\)।

অঙ্কন:

\(D\) ও \(F\) যোগ করে \(G\) পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন \(DF = FG\) হয়। \(C\) ও \(G\) যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১: \(\triangle ADF\) এবং \(\triangle CGF\)-এ,
\(AF = FC\) [যেহেতু \(F\), \(AC\) এর মধ্যবিন্দু]
\(DF = FG\) [অঙ্কনানুসারে]
এবং অন্তর্ভুক্ত \(\angle AFD = \text{অন্তর্ভুক্ত } \angle CFG\) [বিপ্রতীপ কোণ]
অতএব, \(\triangle ADF \cong \triangle CGF\) [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

ধাপ ২:
সুতরাং, \(AD = CG\) এবং \(\angle DAF = \angle FCG\)
কিন্তু \(\angle DAF\) এবং \(\angle FCG\) একান্তর কোণ।
অতএব, \(AD \parallel CG\) বা \(AB \parallel CG\)।

ধাপ ৩:
আবার, \(AD = BD\) [যেহেতু \(D\), \(AB\) এর মধ্যবিন্দু]
সুতরাং, \(BD = CG\)
যেহেতু \(BD \parallel CG\) এবং \(BD = CG\), সেহেতু \(BCGD\) একটি সমান্তরিক।

ধাপ ৪:
যেহেতু \(BCGD\) একটি সমান্তরিক, তাই \(DG \parallel BC\) এবং \(DG = BC\)।
অতএব, \(DF \parallel BC\) (প্রমাণিত)

আবার,
\(DG = BC\)
বা, \(DF + FG = BC\)
বা, \(DF + DF = BC\) [যেহেতু \(DF = FG\)]
বা, \(2DF = BC\)
অতএব, \(DF = \frac{1}{2}BC\) (প্রমাণিত)

\(\triangle ABD\) এবং \(\triangle ABC\)।

বিশেষ নির্বচন:

দেওয়া আছে, চিত্রে \(ABCD\) চতুর্ভুজে \(AB = CD\) এবং \(AB \parallel CD\)। \(AC\) কর্ণ চতুর্ভুজটিকে \(\triangle ABC\) ও \(\triangle ADC\) ত্রিভুজদ্বয়ে বিভক্ত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, \(AD\) ও \(BC\) পরস্পর সমান ও সমান্তরাল (অর্থাৎ, \(AD = BC\) এবং \(AD \parallel BC\))।

প্রমাণ:

ধাপ ১:
\(AB \parallel CD\) এবং \(AC\) তাদের ছেদক।
অতএব, \(\angle BAC = \angle ACD\) [একান্তর কোণ]

ধাপ ২:
এখন, \(\triangle ABC\) এবং \(\triangle ADC\)-এর মধ্যে—
\(AB = CD\) [দেওয়া আছে]
\(\angle BAC = \angle ACD\) [প্রমাণিত]
এবং \(AC\) সাধারণ বাহু।
অতএব, \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\) [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

ধাপ ৩:
যেহেতু ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম, সুতরাং—
\(AD = BC\)

ধাপ ৪:
আবার, \(\angle ACB = \angle CAD\)
কিন্তু \(\angle ACB\) ও \(\angle CAD\) কোণদ্বয় একান্তর কোণ, যা \(AD\) ও \(BC\) রেখাংশকে \(AC\) রেখা ছেদ করায় উৎপন্ন হয়েছে।
অতএব, \(AD \parallel BC\)

সুতরাং, \(AD\) ও \(BC\) পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন:

দেওয়া আছে, চিত্রে \(AB = CD\) এবং \(AB \parallel CD\)। \(AC\) ও \(BD\) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে যে, \(OA = OC\) এবং \(OB = OD\)।

প্রমাণ:

\(AB \parallel CD\) এবং \(AC\) তাদের ছেদক।
অতএব, \(\angle BAC = \angle ACD\) [একান্তর কোণ]
বা, \(\angle OAB = \angle OCD\)

আবার, \(AB \parallel CD\) এবং \(BD\) তাদের ছেদক।
অতএব, \(\angle ABD = \angle BDC\) [একান্তর কোণ]
বা, \(\angle OBA = \angle ODC\)

এখন, \(\triangle AOB\) এবং \(\triangle COD\)-এর মধ্যে—
১. \(\angle OAB = \angle OCD\)
২. \(\angle OBA = \angle ODC\)
৩. \(AB = CD\) [দেওয়া আছে]

সুতরাং, \(\triangle AOB \cong \triangle COD\) [কোণ-বাহু-কোণ বা কো-বা-কো উপপাদ্য]

যেহেতু ত্রিভুজ দুটি সর্বসম, তাই তাদের অনুরূপ বাহুগুলো পরস্পর সমান।
অতএব, \(OA = OC\) এবং \(OB = OD\)। (দেখানো হলো)

আমরা জানি, সামান্তরিকের যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি \(180^\circ\)।

দেওয়া আছে, \(ABCD\) একটি সামান্তরিক এবং \(\angle BAD = 70^\circ\)।

যেহেতু \(\angle BAD\) ও \(\angle ABC\) পরস্পর সন্নিহিত কোণ,

\(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\)

\(\Rightarrow 70^\circ + \angle ABC = 180^\circ\)

\(\Rightarrow \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ\)

\(\Rightarrow \angle ABC = 110^\circ\)

উত্তর: \(110^\circ\)