সাধারণ নির্বচন: প্রমাণ করতে হবে যে, চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে, তা একটি সামান্তরিক।
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCD একটি
চতুর্ভুজ। এর বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল অর্থাৎ AB = CD BC = AD AB || CD এবং BC || AD। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন: A, C যোগ করি।
প্রমাণ: ধাপ্ যুক্তিসহ
(১) BC ∥ AD এবং AC এদের ছেদক।
∴ ∠ACB = ∠CAD [একান্তর কোণ বলে]
(২) এখন, ΔABC ও ΔACD-এ
AB = CD, BC = AD [দেওয়া আছে]
এবং AC = AC [সাধারণ বাহু]
∴ ΔABC ≅ ΔACD [ত্রিভুজের বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
∴ ∠ABC = ∠ADC
অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, ∠BAD = ∠BCD
অতএব, ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো সমান এবং বিপরীত
বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল বলে ABCD একটি সমান্তরিক। (প্রমাণিত)
Related Question
View Allসাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের যেকোনো দুটি সারিবদ্ধ কোণের সমদ্বিখণ্ডক পরস্পরের উপর লম্ব।
বিশেষ নির্বাচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক। এর সারিবদ্ধ ∠ABC ও ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক BO ও CO পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, BO এবং CO পরস্পরের উপর লম্ব। অর্থাৎ, ∠BOC = একটি সমকোণ।
(১) ABCD সামান্তরিকের AB ∥ CD এবং BC ছেদক।
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°
[সামান্তরিকের সারিবদ্ধ কোণগুলোর সমষ্টি ২ সমকোণ]
∴ ½∠ABC + ½∠BCD = 90°
অর্থাৎ, ∠OBC + ∠OCB = 90°
[∵ BO ও CO যথাক্রমে ∠ABC ও ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক]
(২) এখন, ΔOBC এ,
∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°
[∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180° বা দুই সমকোণ]
∴ ∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB)
∴ ∠BOC = 180° – 90°
∴ ∠BOC = 90°
অতএব, OB এবং OC পরস্পরের উপর লম্ব। (প্রমাণিত)
অঙ্কন:
DF কে বৃদ্ধি করি এবং CG ∥ DB আঁকি।
DF-এর বৃদ্ধিতাংশ CG কে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: ছবির লেখাটি আমি ধাপে ধাপে সাজিয়ে দিলাম:
(১) ΔADF এবং ΔCGF-এ
- ∠AFD = ∠CFG [বিপরীত কোণ]
- AF = CF [∵ F, AC-এর মধ্যবিন্দু]
- ∠DAF = ∠FCG [∵ AD ∥ CG এবং AC এদের ছেদক]
অতএব, ΔADF ≅ ΔCGF [ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
⇒ DF = FG এবং AD = CG
(২) BD = AD; [∵ D, AB-এর মধ্যবিন্দু]
∴ BD = CG
⇒ BDGC একটি সামান্তরিক
[∵ BD = CG এবং BD ∥ CG]
∴ DG = BC এবং DG ∥ BC
অর্থাৎ, 2DF = BC এবং DF ∥ BC [∵ DF = FG]
⇒ DF = ½ BC এবং DF ∥ BC (প্রমাণিত)
AB ভূমিবিশিষ্ট দুইটি
ত্রিভুজ হলো ∆ABC ও
ABD
বিশেষ নির্বচন: ABCD একটি চতুর্ভুজ যার AC ও BD দুইটি অসমান কর্ণ এবং এর যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, AB = CD এবং AD = BC
প্রমাণ: ধাপ
(১) ও -এর,
, সাধারণ বাহু।
[∵ এবং এদের ছেদক]
∴
[ত্রিভুজের বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
অতএব, এবং
কিন্তু ও হলো ও বাহুদ্বয়ের
ছেদক দ্বারা উৎপন্ন একান্তর কোণ।
∴
অতএব, এবং (প্রমাণিত)।
দেখাতে হবে যে, এবং ।
প্রমাণ : ধাপ
(১) যেহেতু ও রেখা সমান্তরাল
এবং ও তাদের দুটি ছেদক,
সেহেতু [একান্তর কোণ]
∴
এবং [একান্তর কোণ]
∴
(২) ও -এর,
,
এবং
∴ ; [ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
অতএব, এবং (প্রমাণিত)।
দেওয়া আছে,
আমরা জানি, সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণগুলোর সমষ্টি ।
অথবা,
অথবা,
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
