প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের যে-কোনো একটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যানুসারে, ΔDEF একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ যার EF অতিভুজ এবং A, EF এর উপরস্থ যেকোনো একটি বিন্দু। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, \(AE^2 + AF^2 = 2AD^2\)।

প্রমাণের সুবিধার্থে, D বিন্দু থেকে অতিভুজ EF এর উপর DM লম্ব অঙ্কন করি। যেহেতু ΔDEF একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ এবং EF এর অতিভুজ, এর সমকোণিক শীর্ষ D থেকে অতিভুজ EF এর উপর অঙ্কিত লম্ব এবং মধ্যমা DM অতিভুজের অর্ধেক হয়। এর মানে হলো, M বিন্দুটি EF এর মধ্যবিন্দু এবং \(DM = ME = MF = \frac{1}{2}EF\)। এই বৈশিষ্ট্য থেকে আমরা পাই, \(DM = EM\)।

এখন, ΔADM একটি সমকোণী ত্রিভুজ, কারণ DM \(\perp\) EF। পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে আমরা পাই, \(AD^2 = AM^2 + DM^2\) ...... (i)। আবার, ΔAEF ত্রিভুজে AM হলো EF বাহুর মধ্যমা (যেহেতু M, EF এর মধ্যবিন্দু)। মধ্যমার উপপাদ্য (Apollonius's Theorem) অনুযায়ী, আমরা জানি: \(AE^2 + AF^2 = 2(AM^2 + EM^2)\) ...... (ii)। যেহেতু আমরা আগেই প্রমাণ করেছি যে \(DM = EM\), সুতরাং \(DM^2 = EM^2\)। এখন, (i) নং সমীকরণে \(DM^2\) এর পরিবর্তে \(EM^2\) বসিয়ে পাই, \(AD^2 = AM^2 + EM^2\) ...... (iii)। পরিশেষে, (ii) নং সমীকরণে \(AM^2 + EM^2\) এর স্থানে (iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(AD^2\) বসিয়ে আমরা পাই, \(AE^2 + AF^2 = 2AD^2\)। (প্রমাণিত)