প্রমাণ কর যে, DB² + DC² = 2DA².

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, \(ABC\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার \(AB = AC\) এবং \(\angle BAC = 90^\circ\)। অতিভুজ \(BC\) এর উপর \(D\) যে কোনো বিন্দু। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, \(DB^2 + DC^2 = 2DA^2\)।

অঙ্কন:

\(A\) থেকে \(BC\) এর উপর \(AE \perp BC\) আঁকি।

প্রমাণ:

যেহেতু \(\triangle ABC\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার \(AB = AC\) এবং \(\angle BAC = 90^\circ\), সেহেতু এর ভূমির কোণদ্বয় \(\angle ABC = \angle ACB = 45^\circ\)।

\(A\) থেকে অতিভুজ \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AE\), \(BC\) বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, \(E\) হলো \(BC\) এর মধ্যবিন্দু।

সুতরাং, \(BE = EC\)।

এখন, \(\triangle ABE\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ (কারণ \(AE \perp BC\)) এবং \(\angle ABE = 45^\circ\)। সুতরাং, \(\angle BAE = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)।

যেহেতু \(\angle ABE = \angle BAE = 45^\circ\), \(\triangle ABE\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

অতএব, \(AE = BE\)।

আমরা \(D\) বিন্দুটিকে \(BC\) এর উপর যেকোনো বিন্দু হিসেবে বিবেচনা করতে পারি। \(\triangle ADE\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার \(\angle AED = 90^\circ\)। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, আমরা পাই:

\[AD^2 = AE^2 + DE^2 \quad \text{(১)}\]

এখন, \(D\) বিন্দুটি \(E\) এর বামপাশে অথবা ডানপাশে যে অবস্থানেই থাকুক না কেন, \(D, B, E, C\) একই সরলরেখায় অবস্থিত হওয়ায় আমরা লিখতে পারি:

\[DB = |BE - DE| \quad \text{এবং} \quad DC = BE + DE \quad (\text{যেহেতু } EC = BE)\]

সুতরাং, আমরা পাই:

\[DB^2 = (BE - DE)^2 = BE^2 - 2 \cdot BE \cdot DE + DE^2 \quad \text{(২)}\] \[DC^2 = (BE + DE)^2 = BE^2 + 2 \cdot BE \cdot DE + DE^2 \quad \text{(৩)}\]

(২) নং ও (৩) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:

\[DB^2 + DC^2 = (BE^2 - 2 \cdot BE \cdot DE + DE^2) + (BE^2 + 2 \cdot BE \cdot DE + DE^2)\] \[DB^2 + DC^2 = 2BE^2 + 2DE^2\] \[DB^2 + DC^2 = 2(BE^2 + DE^2)\]

যেহেতু আমরা পূর্বে প্রমাণ করেছি যে \(AE = BE\), আমরা \(BE\) এর পরিবর্তে \(AE\) লিখতে পারি:

\[DB^2 + DC^2 = 2(AE^2 + DE^2)\]

(১) নং সমীকরণ থেকে আমরা জানি \(AD^2 = AE^2 + DE^2\)। এই মানটি প্রতিস্থাপন করে পাই:

\[DB^2 + DC^2 = 2AD^2 \quad (\text{প্রমাণিত})\]

অতএব, \(ABC\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার \(AB = AC\) এবং অতিভুজ \(BC\) এর উপর \(D\) যে কোনো বিন্দু হলে, \(DB^2 + DC^2 = 2DA^2\) হয়।