প্রমাণ কর যে, ∠LMN + ∠LKN = 180°.

দেওয়া আছে: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে KLMN একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ।

প্রমাণ করতে হবে যে: \(\angle LMN + \angle LKN = 180^\circ\)।

প্রমাণ:

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে KLMN একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ।

চাপ LKN কেন্দ্রে \(\angle LON\) কোণ উৎপন্ন করে এবং পরিধিতে \(\angle LMN\) কোণ উৎপন্ন করে।

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ (Central angle) পরিধিস্থ কোণের (Inscribed angle) দ্বিগুণ।

অতএব, \(\angle LON = 2 \angle LMN\)। (1)

আবার, চাপ LMN কেন্দ্রে প্রবৃদ্ধ \(\angle LON\) কোণ উৎপন্ন করে এবং পরিধিতে \(\angle LKN\) কোণ উৎপন্ন করে।

অতএব, প্রবৃদ্ধ \(\angle LON = 2 \angle LKN\)। (2)

এখন, সমীকরণ (1) এবং (2) যোগ করে পাই,

\(\angle LON + \text{প্রবৃদ্ধ } \angle LON = 2 \angle LMN + 2 \angle LKN\)

আমরা জানি, একটি বিন্দুতে উৎপন্ন সম্পূর্ণ কোণ \(360^\circ\) হয়।

সুতরাং, \(\angle LON + \text{প্রবৃদ্ধ } \angle LON = 360^\circ\)।

অতএব, \(360^\circ = 2 (\angle LMN + \angle LKN)\)

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(\frac{360^\circ}{2} = \angle LMN + \angle LKN\)

সুতরাং, \(\angle LMN + \angle LKN = 180^\circ\)।

(প্রমাণিত)