প্রমাণ কর যে, $P{Q}^2 + P{R}^{2 }= 2(P{S}^2 + Q{S}^2).$

উদ্দীপকে প্রদত্ত \(\triangle PQR\) এর QR বাহুর মধ্যবিন্দু S। ফলে PS হলো \(\triangle PQR\)-এর একটি মধ্যমা। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, \(PQ^2 + PR^2 = 2(PS^2 + QS^2)\)। এটি জ্যামিতির একটি পরিচিত উপপাদ্য, যা অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য নামে পরিচিত।

প্রমাণ করার জন্য, P বিন্দু থেকে QR বাহুর উপর PD লম্ব অঙ্কন করি, যেখানে D বিন্দুটি QR বাহুর উপর অবস্থিত।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই:

    
• \(\triangle PDQ\) থেকে, \(PQ^2 = PD^2 + QD^2\) ... (i)
    
• \(\triangle PDR\) থেকে, \(PR^2 = PD^2 + RD^2\) ... (ii)

সমীকরণ (i) এবং (ii) যোগ করে পাই,

যেহেতু S, QR এর মধ্যবিন্দু, সুতরাং \(QS = SR\)।

এখন, আমরা \(QD\) এবং \(RD\) কে \(QS\) এবং \(DS\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

    
• \(QD = QS - DS\) (যদি D, Q এবং S এর মাঝে থাকে) অথবা \(QD = DS - QS\) (যদি S, Q এবং D এর মাঝে থাকে)। উভয়ক্ষেত্রেই, \(QD^2 = (QS - DS)^2 = QS^2 - 2QS \cdot DS + DS^2\)
    
• \(RD = RS + DS = QS + DS\) (যেহেতু \(RS = QS\))। সুতরাং, \(RD^2 = (QS + DS)^2 = QS^2 + 2QS \cdot DS + DS^2\)

এই মানগুলো উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাই,

আবার, \(\triangle PDS\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে \(PD^2 + DS^2 = PS^2\) (পিথাগোরাসের উপপাদ্য)।

এই মান বসিয়ে পাই,

সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত \(\triangle PQR\) এর ক্ষেত্রে, \(PQ^2 + PR^2 = 2(PS^2 + QS^2)\) প্রমাণিত হলো।