প্রমাণ কর যে, ∠PQR + ∠PSR = দুই সমকোণ।

ভূমিকা: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হলো এর বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°। উদ্দীপকে \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(PQRS\) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ দেওয়া আছে, যার এই বিশেষ ধর্মটি প্রমাণ করতে হবে। এই উপপাদ্যটি জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ যা বৃত্ত এবং চতুর্ভুজ সম্পর্কিত সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

প্রদত্ত ও প্রামাণ্য:
দেওয়া আছে, \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(PQRS\) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(∠PQR + ∠PSR = \) দুই সমকোণ।

প্রমাণ:
আমরা জানি, কোনো বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
\(PSR\) চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ হলো প্রবৃদ্ধ \(∠POR\) এবং পরিধিস্থ কোণ হলো \(∠PQR\)।
সুতরাং, প্রবৃদ্ধ \(∠POR = 2∠PQR\) ………(i)
আবার, \(PQR\) চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ হলো \(∠POR\) এবং পরিধিস্থ কোণ হলো \(∠PSR\)।
সুতরাং, \(∠POR = 2∠PSR\) ………(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
প্রবৃদ্ধ \(∠POR + ∠POR = 2∠PQR + 2∠PSR\)
\(360° = 2(∠PQR + ∠PSR)\) (যেহেতু কেন্দ্র O-তে প্রবৃদ্ধ \(∠POR\) এবং \(∠POR\) এর সমষ্টি \(360°\))
\(180° = ∠PQR + ∠PSR\)
অর্থাৎ, \(∠PQR + ∠PSR = \) দুই সমকোণ।

সিদ্ধান্ত: উপরের বিশ্লেষণ এবং ধাপগুলো থেকে প্রমাণিত হয় যে, উদ্দীপকের \(PQRS\) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ \(∠PQR\) এবং \(∠PSR\) এর সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°। এটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি সুপ্রতিষ্ঠিত জ্যামিতিক ধর্ম।