প্রমাণ কর যে, PR² = PQ² + QR²

(১) ∆RPQ ও ∆QDE এ RP = QD = c,  PQ = DE = a এবং অন্তর্ভুক্ত ∠RPQ = অন্তর্ভুক্ত ∠QDE সুতরাং, ∠RPQ $\equiv$ ∠QDE

$\therefore$ RQ = QE = b এবং ∠PRQ = ∠EQD.

[প্রত্যেকে সমকোণ]

[বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য।

(২) আবার, RP$\perp$PD এবং ED$\perp$PD হওয়ায় RP || ED.

সুতরাং, RPDE একটি ট্রাপিজিয়াম।

তদুপরি, ∠RQP + ∠PRQ = ∠RQP+ ∠EQD = এক সমকোণ। ∠RQE =

এক সমকোণ। $\therefore$ ∆RQE সমকোণী ত্রিভুজ।

আমরা জানি, ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × সমান্তরাল

বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব . RPDE

ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (∆ ক্ষেত্র RPQ+ ∆ ক্ষেত্র QDE + △ ক্ষেত্র RQE)

বা, $\frac{1}{2}$PD (RP + DE ) = $\frac{1}{2}$ac + $\frac{1}{2}$ac + $\frac{1}{2}$b²

বা, $\frac{1}{2}$(PQ + QD) (RP + DE) = $\frac{1}{2}$[2ac +b²]

বা, (a+c)(a+c) = 2ac + b² [2 দ্বারা গুণ করে]

বা, a² + 2ac + c² = 2ac + b²

বা, b² = c² + a²

অর্থাৎ, QR² = PR² + PQ²  (প্রমাণিত)

(১) ∆PQR-এর QM ও RN দুইটি মধ্যমা

$\therefore$PM = $\frac{1}{2}$PR এবং  PN = $\frac{1}{2}$PQ

২) ∆PQR এ ∠P সমকোণ।

$\therefore$ PQ² + PR² = QR² .......(i)

(৩) আবার, ∆PQM এ ∠P সমকোণ।

$\therefore$ PQ² + PM²= QM² ...........(ii)

(৪) তদ্রুপ ∆PRN এ ∠P সমকোণ

$\therefore$ PR² + PN² = RN² .……. (iii)

(৫) এখন, PQ² + PM² + PR²+ PN² = QM² + RN²

বা, PQ² +($\frac{1}{2}$PR)² + PR² + ($\frac{1}{2}$PQ)² = QM² + RN²

বা, PQ² + PR² +$\frac{1}{4}$PQ² + $\frac{1}{4}$PR² = RN² + QM²

বা, (PQ² + PR²) + $\frac{1}{4}$(PQ² + PR²) = RN² + QM²

বা, RQ² + $\frac{1}{4}$RQ² = RN² + QM²

বা, $\frac{5}{4}$RQ² = RN² + QM²

$\therefore$ 5QR² = 4(RN²+ QM²) (প্রমাণিত)

[ত্রিভুজের যে কোনো শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত মধ্যমা তার বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

[পিথাগোরাসের উপপাদ্যনুসারে]

[একই কারণে]

[একই কারণে]

[সমীকরণ (ii) ও
(iii) যোগ করে]

[ধাপ (১) হতে]

[ধাপ (২) থেকে প্রাপ্ত]