প্রমাণ কর যে, △ QRT সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যানুসারে, ΔDEF একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ যার EF অতিভুজ এবং A, EF এর উপরস্থ যেকোনো একটি বিন্দু। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, \(AE^2 + AF^2 = 2AD^2\)।

প্রমাণের সুবিধার্থে, D বিন্দু থেকে অতিভুজ EF এর উপর DM লম্ব অঙ্কন করি। যেহেতু ΔDEF একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ এবং EF এর অতিভুজ, এর সমকোণিক শীর্ষ D থেকে অতিভুজ EF এর উপর অঙ্কিত লম্ব এবং মধ্যমা DM অতিভুজের অর্ধেক হয়। এর মানে হলো, M বিন্দুটি EF এর মধ্যবিন্দু এবং \(DM = ME = MF = \frac{1}{2}EF\)। এই বৈশিষ্ট্য থেকে আমরা পাই, \(DM = EM\)।

এখন, ΔADM একটি সমকোণী ত্রিভুজ, কারণ DM \(\perp\) EF। পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে আমরা পাই, \(AD^2 = AM^2 + DM^2\) ...... (i)। আবার, ΔAEF ত্রিভুজে AM হলো EF বাহুর মধ্যমা (যেহেতু M, EF এর মধ্যবিন্দু)। মধ্যমার উপপাদ্য (Apollonius's Theorem) অনুযায়ী, আমরা জানি: \(AE^2 + AF^2 = 2(AM^2 + EM^2)\) ...... (ii)। যেহেতু আমরা আগেই প্রমাণ করেছি যে \(DM = EM\), সুতরাং \(DM^2 = EM^2\)। এখন, (i) নং সমীকরণে \(DM^2\) এর পরিবর্তে \(EM^2\) বসিয়ে পাই, \(AD^2 = AM^2 + EM^2\) ...... (iii)। পরিশেষে, (ii) নং সমীকরণে \(AM^2 + EM^2\) এর স্থানে (iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(AD^2\) বসিয়ে আমরা পাই, \(AE^2 + AF^2 = 2AD^2\)। (প্রমাণিত)