ববটির সর্বোচ্চ কৌণিক বেগ নির্ণয় কর।

ববটি সাম্যাবস্থান অতিক্রম করার সময় সুতা ছিঁড়ে গেলে সেটি ঝুড়িতে পড়বে কিনা তা গাণিতিকভাবে যাচাই করতে হলে প্রথমে সাম্যাবস্থানে ববের বেগ নির্ণয় করতে হবে এবং তারপর ওই বেগ নিয়ে ভূমির দিকে পড়তে থাকা ববের আনুভূমিক পাল্লা হিসাব করতে হবে।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যগুলো হলো:

• সূতার দৈর্ঘ্য (L) = 99.5 cm = 0.995 m
• ববের ভর (m) = 100 g = 0.1 kg (এই গণনার জন্য এটি সরাসরি প্রয়োজন নেই)
• ববকে সাম্যাবস্থান থেকে যে কোণে টেনে ছেড়ে দেওয়া হয়েছে (\(\theta\)) = 4° (চিত্র থেকে)
• সাম্যাবস্থান (B) থেকে ভূমির উচ্চতা (\(H_B\)) = 1 m
• ঝুড়িটির উচ্চতা (\(H_C\)) = 15 cm = 0.15 m
• সাম্যাবস্থান থেকে ঝুড়িটির আনুভূমিক দূরত্ব (R) = 2 m
• অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 9.8 \( \text{m/s}^2 \)

প্রথমে, সাম্যাবস্থান B-তে ববের বেগ নির্ণয় করা যাক। A অবস্থান থেকে B অবস্থানে নামার সময় ববটি যে উচ্চতা অতিক্রম করে (h):

\[ h = L(1 - \cos\theta) \]

\[ h = 0.995 (1 - \cos(4^\circ)) \]

\[ h = 0.995 (1 - 0.99756) \]

\[ h = 0.995 \times 0.00244 \]

\[ h \approx 0.002428 \, \text{m} \]

এখন, সাম্যাবস্থান B-তে ববের বেগ (v):

\[ v = \sqrt{2gh} \]

\[ v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.002428} \]

\[ v = \sqrt{0.0475888} \]

\[ v \approx 0.2181 \, \text{m/s} \]

সুতা ছিঁড়ে গেলে, ববটি 1 m উচ্চতা থেকে 0.2181 m/s আনুভূমিক বেগ নিয়ে একটি প্রাসের মতো গতিপথ অনুসরণ করবে। ঝুড়িটি 0.15 m উচ্চতায় অবস্থিত। সুতরাং, ববটিকে উলম্বভাবে যে দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে (\(\Delta H\)) = \(H_B - H_C\) = 1 m - 0.15 m = 0.85 m।

ববটির 0.85 m উচ্চতা অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় (t):

আমরা জানি, \( \Delta H = v_y t + \frac{1}{2}gt^2 \) যেখানে \( v_y = 0 \)।

\[ 0.85 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \]

\[ 0.85 = 4.9 t^2 \]

\[ t^2 = \frac{0.85}{4.9} \]

\[ t^2 \approx 0.173469 \]

\[ t = \sqrt{0.173469} \]

\[ t \approx 0.4165 \, \text{s} \]

এই সময়ে ববটি আনুভূমিকভাবে যে দূরত্ব (\(x\)) অতিক্রম করবে তা হলো:

\[ x = v \times t \]

\[ x = 0.2181 \times 0.4165 \]

\[ x \approx 0.0908 \, \text{m} \]

গণনা থেকে দেখা যাচ্ছে, ববটি আনুভূমিকভাবে প্রায় 0.0908 m দূরত্ব অতিক্রম করবে। কিন্তু ঝুড়িটি সাম্যাবস্থান থেকে 2 m আনুভূমিক দূরত্বে রাখা আছে। যেহেতু ববটির আনুভূমিক পাল্লা (0.0908 m) ঝুড়িটির আনুভূমিক দূরত্ব (2 m) থেকে অনেক কম, তাই সাম্যাবস্থায় সুতা ছিঁড়ে গেলে ববটি ঝুড়িতে পড়বে না। এটি ঝুড়ির অনেক আগেই ভূমিতে পতিত হবে।