বাইনারি সংখ্যা

100010(১ম)

100100(২য়)

100110(৩য়)

? (৪র্থ)

101010(৫ম)

বাইনারি পদ্ধতিতে বিটকে দুটি ভিন্ন অক্ষরের সমষ্টিরূপে ব্যবহার করা হয়।

Unicode এর পূর্ণরূপ হলো Universal Code যা মূলত ২ বাইট বা ১৬ বিটের কোড। এ কোডের মাধ্যমে ২১৬ বা ৬৫,৫৩৬ টি অদ্বিতীয় চিহ্ন কম্পিউটারকে অদ্বিতীয়ভাবে বুঝানো যায়। ফলে বিশ্বের সকল ভাষার সকল বর্ণ বা চিহ্নকে কম্পিউটারে নির্দিষ্ট করা বা কোডভুক্ত করা সম্ভব হয়েছে।
 

উদ্দীপকের ৫ম সংখ্যাটি হলো 101010। এই বাইনারি সংখ্যাটিকে অকট্যাল, দশমিক ও হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করা হলো।

যেকোনো বাইনারি সংখ্যাকে দশমিক, অকট্যাল বা হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তরের জন্য ভিন্ন ভিন্ন পদ্ধতি অনুসরণ করা হয়। বাইনারি থেকে দশমিকে রূপান্তরের ক্ষেত্রে বাইনারি সংখ্যার প্রতিটি বিটকে তার স্থানীয় মান (2-এর ঘাত) দিয়ে গুণ করে যোগ করা হয়। বাইনারি থেকে অকট্যালে রূপান্তরের জন্য বাইনারি সংখ্যাটিকে ডানদিক থেকে তিনটি করে বিটে ভাগ করা হয় এবং প্রতিটি তিন বিটের বাইনারি গ্রুপের সমতুল্য অকট্যাল অঙ্ক বসানো হয়। একইভাবে, বাইনারি থেকে হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তরের জন্য বাইনারি সংখ্যাটিকে ডানদিক থেকে চারটি করে বিটে ভাগ করে প্রতিটি চার বিটের বাইনারি গ্রুপের সমতুল্য হেক্সাডেসিমেল অঙ্ক বসানো হয়। প্রয়োজনে বামপাশে অতিরিক্ত শূন্য যোগ করে বিট সংখ্যা পূর্ণ করা হয়।

উদ্দীপকের ৫ম সংখ্যাটি হলো \(101010_2\)।

    
•         দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর:         

  \(101010_2 = (1 \times 2^5) + (0 \times 2^4) + (1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (0 \times 2^0)\)

          

  \( = (1 \times 32) + (0 \times 16) + (1 \times 8) + (0 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1)\)

          

  \( = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0\)

          

  \( = 42_{10}\)

      
    
•         অকট্যাল সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর:         

  বাইনারি সংখ্যাটিকে তিন বিট করে গ্রুপ করলে পাই: \(101 \ 010\)

          

  \(101_2 = 5_8\)

          

  \(010_2 = 2_8\)

          

  সুতরাং, \(101010_2 = 52_8\)

      
    
•         হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর:         

  বাইনারি সংখ্যাটিকে চার বিট করে গ্রুপ করলে পাই (প্রয়োজনে বামে শূন্য যোগ করে): \(0010 \ 1010\)

          

  \(0010_2 = 2_{16}\)

          

  \(1010_2 = A_{16}\) (যেখানে \(10\) এর হেক্সাডেসিমেল মান \(A\))

          

  সুতরাং, \(101010_2 = 2A_{16}\)

      

অতএব, উদ্দীপকের ৫ম বাইনারি সংখ্যা \(101010\) এর দশমিক মান \(42\), অকট্যাল মান \(52\) এবং হেক্সাডেসিমেল মান \(2A\)।

উদ্দীপকের ধারাটির ৪র্থ সংখ্যাটি নির্ণয় এবং এরপর ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে ৪র্থ সংখ্যা থেকে ২য় সংখ্যার পার্থক্য নিরূপণ করা হলো।

১. উদ্দীপকের ধারাটির ৪র্থ সংখ্যা নির্ণয়:
উদ্দীপকের ধারাটি লক্ষ্য করলে দেখা যায়, প্রতিটি সংখ্যা তার পূর্ববর্তী সংখ্যার সাথে বাইনারি '10' যোগ করে গঠিত হয়েছে। অর্থাৎ, প্রতিটি ধাপের পার্থক্য দশমিক '2'।

    
• ১ম সংখ্যা: 100010 (দশমিকে 34)
    
• ২য় সংখ্যা: 100100 (দশমিকে 36) (34 + 2)
    
• ৩য় সংখ্যা: 100110 (দশমিকে 38) (36 + 2)

সুতরাং, ৪র্থ সংখ্যাটি হবে ৩য় সংখ্যার সাথে বাইনারি '10' যোগ করে।
৩য় সংখ্যা = 100110
৪র্থ সংখ্যা = 100110 + 10 = 101000 (দশমিকে 40)

যাচাই: ৫ম সংখ্যা: 101010 (দশমিকে 42) (40 + 2)। এটি উদ্দীপকের ৫ম সংখ্যার সাথে মিলে যায়।
অতএব, উদ্দীপকের ধারাটির ৪র্থ সংখ্যা হলো 101000।

২. ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে ৪র্থ সংখ্যা থেকে ২য় সংখ্যার পার্থক্য নিরূপণ:
আমরা নির্ণয় করেছি ৪র্থ সংখ্যা = 101000 (দশমিকে 40)।
উদ্দীপক থেকে ২য় সংখ্যা = 100100 (দশমিকে 36)।
পার্থক্য = ৪র্থ সংখ্যা - ২য় সংখ্যা = 101000 - 100100

২-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে বিয়োগ করার জন্য, বিয়োজ্য সংখ্যার (২য় সংখ্যা) ২-এর পরিপূরক নির্ণয় করে যোজ্য সংখ্যার (৪র্থ সংখ্যা) সাথে যোগ করতে হয়। সংখ্যাগুলি ৬-বিট হওয়ায়, আমরা ৮-বিট রেজিস্টার ধরে নিব যাতে চিহ্ন বিটের জন্য অতিরিক্ত একটি বিট থাকে এবং ঋণাত্মক সংখ্যার পরিপূরক সঠিকভাবে নির্ণয় করা যায়।

ক) সংখ্যাগুলিকে ৮-বিট রেজিস্টারে রূপান্তর:
৪র্থ সংখ্যা (101000) = 00101000
২য় সংখ্যা (100100) = 00100100

খ) ২য় সংখ্যার (00100100) ২-এর পরিপূরক নির্ণয়:
২য় সংখ্যা = 00100100
১-এর পরিপূরক = 11011011
২-এর পরিপূরক = 11011011 + 1 = 11011100

গ) ৪র্থ সংখ্যার সাথে ২য় সংখ্যার ২-এর পরিপূরক যোগ:
   00101000 (৪র্থ সংখ্যা)
+  11011100 (২য় সংখ্যার ২-এর পরিপূরক)
------------------
 1 00000100

যোগফলটিতে একটি ক্যারি (carry) বিট (সর্ববামের '1') উৎপন্ন হয়েছে। ৮-বিট রেজিস্টারের ক্ষেত্রে, যদি ক্যারি বিট উৎপন্ন হয়, তাহলে সেটি বাদ দিতে হয়।
সুতরাং, প্রকৃত ফলাফল = 00000100

ঘ) ফলাফল বিশ্লেষণ:
প্রাপ্ত বাইনারি সংখ্যা 00000100 এর দশমিক মান হলো 4।
বাস্তবপক্ষে 40 - 36 = 4। সুতরাং, ২-এর পরিপূরক পদ্ধতির মাধ্যমে প্রাপ্ত ফলাফল সঠিক।