বিস্তার না করে প্রমাণ কর  $\left[\begin{array}{cccc}3+a& a& 12-& a\\ 4+b& b& 16-& b\\ 5+c& c& 20-& c\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, \(f(A) + 4I_3 = 0\)। আমরা জানি \(f(a) = a^2 - 5a\), সুতরাং \(f(A) = A^2 - 5A\)। এই মানটি প্রদত্ত সমীকরণে বসালে আমরা পাই, \(A^2 - 5A + 4I_3 = 0\)। ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}\) নির্ণয়ের জন্য সমীকরণের উভয় পাশে \(A^{-1}\) দ্বারা গুণ করে পাই: \(A^{-1}(A^2 - 5A + 4I_3) = A^{-1} \cdot 0 \implies A - 5I_3 + 4A^{-1} = 0 \implies 4A^{-1} = 5I_3 - A\)। অতএব, \(A^{-1} = \frac{1}{4}(5I_3 - A)\)।

এই পদ্ধতিতে, সরাসরি নির্ণায়ক (determinant) এবং সহগুণক ম্যাট্রিক্স (adjoint matrix) নির্ণয় না করে একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স (inverse matrix) নির্ণয় করা সম্ভব। প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স বহুপদী সমীকরণ (matrix polynomial equation) ব্যবহার করে \(A^{-1}\) কে \(A\) ম্যাট্রিক্স এবং অভেদক ম্যাট্রিক্স (identity matrix) \(I_3\)-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এটি ক্যালি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য (Cayley-Hamilton theorem)-এর একটি প্রয়োগ হিসাবেও কাজ করে, যেখানে একটি ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণকে (characteristic equation) সিদ্ধ করে।

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স \(B = [ 3x + 2y + z \quad x + 2y + 3z \quad 2x + y + 4z ]\) এবং \(y = [3, -1, 2]\) হতে পাই, \(B^T = \begin{bmatrix} 3x + 2y + z \\ x + 2y + 3z \\ 2x + y + 4z \end{bmatrix}\) এবং \(y^T = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\)। প্রশ্নমতে, \(B^T = y^T\) হওয়ায়, আমরা নিম্নোক্ত সমীকরণ জোট পাই:
\(3x + 2y + z = 3\) .......... (1)
\(x + 2y + 3z = -1\) ........ (2)
\(2x + y + 4z = 2\) .......... (3)

এই সমীকরণ জোটকে ক্রেমারের নিয়মের সাহায্যে সমাধান করতে হলে, প্রথমে সহগ ম্যাট্রিক্স \(D\) এবং ধ্রুবক পদ ম্যাট্রিক্স \(C\) নির্ণয় করতে হবে। এখানে, \(D = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}\) এবং \(C = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\)। ক্রেমারের নিয়ম অনুযায়ী, \(x = \frac{|D_x|}{|D|}\), \(y = \frac{|D_y|}{|D|}\) এবং \(z = \frac{|D_z|}{|D|}\) যেখানে \(|D|\) ≠ 0। প্রথমত, \(|D|\) নির্ণয় করি: \(|D| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 3(2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 2(1 \cdot 4 - 3 \cdot 2) + 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2)\) \(= 3(8 - 3) - 2(4 - 6) + 1(1 - 4)\) \(= 3(5) - 2(-2) + 1(-3)\) \(= 15 + 4 - 3 = 16\)

এখন, \(|D_x|\), \(|D_y|\) এবং \(|D_z|\) নির্ণয় করি:
\(|D_x| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 3(2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 2(-1 \cdot 4 - 3 \cdot 2) + 1(-1 \cdot 1 - 2 \cdot 2)\) \(= 3(8 - 3) - 2(-4 - 6) + 1(-1 - 4)\) \(= 3(5) - 2(-10) + 1(-5)\) \(= 15 + 20 - 5 = 30\)
\(|D_y| = \begin{vmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 3(-1 \cdot 4 - 3 \cdot 2) - 3(1 \cdot 4 - 3 \cdot 2) + 1(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2)\) \(= 3(-4 - 6) - 3(4 - 6) + 1(2 + 2)\) \(= 3(-10) - 3(-2) + 1(4)\) \(= -30 + 6 + 4 = -20\)
\(|D_z| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 3(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) - 2(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2) + 3(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2)\) \(= 3(4 + 1) - 2(2 + 2) + 3(1 - 4)\) \(= 3(5) - 2(4) + 3(-3)\) \(= 15 - 8 - 9 = -2\)
অতএব, \(x = \frac{|D_x|}{|D|} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}\) \(y = \frac{|D_y|}{|D|} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4}\) \(z = \frac{|D_z|}{|D|} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}\)
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান হলো \(x = \frac{15}{8}, y = -\frac{5}{4}, z = -\frac{1}{8}\) ।