বুলারের সাহায্যে ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। এবার বুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশের সমান একটি রেখাংশ আঁক। (জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান)

বুলারের সাহায্যে 6 সে. মি. দূরে দুইটি বিন্দু A ও B চিহ্নিত করি। A ও B এর সংযোগ রেখা AB আঁকি। তাহলে AB ই নির্ণেয় 6 সে. মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশ। AB রেখাংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে।

অঙ্কনের ধাপ:

১. A কে কেন্দ্র করে AB এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর দুই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।

২. B কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপগুলো পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. C ও D যোগ করি। CD রেখাংশ AB রেখাংশকে ০ বিন্দুতে ছেদ করে। AB রেখাংশ ০ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে।

পরিমাপ যাচাই: রুলারের সাহায্যে AO এবং OB রেখাংশের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করি। AB রেখাংশ বরাবর রুলার স্থাপন করি যেন, AB রেখাংশের A বিন্দু রুলারের ০ নির্দেশিত দাগের সাথে মিলে। এখন, AB রেখাংশের ০ বিন্দু রুলারের ৩ সে.মি., ও B বিন্দু রুলারের 6 সে.মি. দাগে পড়ে।

$\therefore$ AO = 3 সে.মি. এবং OB = (6 - 3) সে.মি. = 3 সে.মি. অর্থাৎ, AO = OB = 3 সে.মি..।

সুতরাং, দ্বিখণ্ডিত রেখাংশ দুইটি মেপে দেখা গেল, দিখন্ডিত রেখাংশ দুইটি সমান।

রুলারের সাহায্যে ৪ সে. মি. দূরে দুইটি বিন্দু A ও B চিহ্নিত করি। A ও B এর সংযোগ রেখা AB আঁকি। এই সংযোগ রেখা AB-ই নির্ণেয় ৪ সে. মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশ।

AB রেখাংশকে সমান চার ভাগে ভাগ করতে হবে।

অঙ্কনের ধাপ :

১. A কে কেন্দ্র করে AB-এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
২. B কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৩. এক দিকের বৃত্তচাপদ্বয় P বিন্দুতে এবং অপর দিকের বৃত্তচাপদ্বয় Q বিন্দুতে ছেদ করে।
8. P, Q যোগ করি। PQ রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. এ কে কেন্দ্র করে AO এর সমান বা অর্ধেকের বেশি 'ব্যাসার্ধ দিয়ে AO এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৬. B কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে OB এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৭. ০ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে OA এর উভয় পাশে দুইটি এবং OB এর উভয় পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৮. উক্ত বৃত্তচাপগুলো পরস্পরকে R, S, U, V বিন্দুতে ছেদ করে।
৯. R, S ও U, V যোগ করি। RS রেখা AB কে M বিন্দুতে এবং UV রেখা AB কে N বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব, AB রেখাটি M, O, N বিন্দুতে সমান চার অংশে বিভক্ত হলো। অর্থাৎ, AM = MO = ON=NB.

মনে করি, 7 সে.মি. দৈর্ঘ্যের সমান একটি রেখাংশ ABI AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে উক্ত রেখাংশের উপর লম্ব আঁকতে হবে।

অঙ্কনের ধাপ:

১. বুলারের সাহায্যে AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু P নির্ণয় করি।
২. P কে কেন্দ্র করে সুবিধামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা AB কে C বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. C কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে D বিন্দুতে ছেদ করে। আবার D কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথমে আঁকা বৃত্তচাপকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. E ও D কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একই দিকে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. Q, P যোগ করি। QP রেখাংশ AB রেখাংশের উপর P মধ্যবিন্দুতে লম্ব। অর্থাৎ QP $\perp$ AB.

মনে করি, ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের সমান একটি রেখাংশ AB। AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে উক্ত রেখাংশের উপর লম্ব আঁকতে হবে।

অঙ্কনের ধাপ:

১. বুলারের সাহায্যে AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু P নির্ণয় করি।
২. এখন, AB রেখাংশের A ও B কে কেন্দ্র করে AB এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. P, Q যোগ করি। PQ রেখাংশ AB রেখাংশের উপর P মধ্যবিন্দুতে লম্ব। অর্থাৎ, PQ $\perp$ AB.

দেওয়া আছে, AB সরলরেখার উপর C একটি বিন্দু। AB রেখার C বিন্দুতে CD লম্ব আঁকতে হবে। আবার, CD রেখার উপর একটি বিন্দু E নিয়ে E বিন্দুতে CD রেখার উপর লম্ব আঁকতে হবে।

অঙ্কনের ধাপ:

১. C কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি AB-কে P'বিন্দুতে ছেদ করে।
২. P কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ। 'আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. আবার, Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথমে আঁকা বৃত্তচাপকে. R বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. QR কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একই দিকে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি S বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. C, S যোগ করি এবং D পর্যন্ত বর্ধিত করি। অতএব, AB সরলরেখার C বিন্দুতে CD লম্ব অঙ্কিত হলো।
৬. এখন, CD রেখার উপর E একটি বিন্দু নিই। E বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা DE কে T বিন্দুতে ছেদ করে।
৭. T কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে U বিন্দুতে ছেদ করে।
৮. আবার, U কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথমে আঁকা বৃত্তচাপকে V বিন্দুতে ছেদ করে।.
৯. Uও V কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একই দিকে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি F বিন্দুতে ছেদ করে।
১০. E, F যোগ করি। অতএব, CD সরলরেখার E বিন্দুতে EF লম্ব অঙ্কিত হলো।

তাহলে, AB সরলরেখার C বিন্দুতে CD লম্ব এবং CD রেখার E বিন্দুতে EF লম্ব অঙ্কিত হলো।

চাঁদা ব্যবহার করে 45° কোণ অঙ্কন :

অঙ্কনের ধাপ:

১. যেকোনো রশ্মি OA নিই।
২. OA রশ্মির ০ বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। যা OA কে C বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. C বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথম বৃত্তচাপকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
8. D বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথম বৃত্তচাপকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. E ও D-বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে BD-এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে F বিন্দুতে ছেদ করে।
৬. O, F যোগ করি। OF, ED বৃত্তচাপকে G বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে $\angle$AOF উৎপন্ন হল যার পরিমাপ 90° ।
৭. C ও G বিন্দুকে কেন্দ্র করে CG এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে $\angle$AOF এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
৮. ০, B যোগ করি। তাহলে, OB রশ্মি angle AOF কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। সুতরাং $\angle$AOB= $\angle$ BOF = 45° ।
তাহলে $\angle$AOB অথবা $\angle$BOF -  উদ্দিষ্ট  45° কোণ।