ভিত্তি কী? (জ্ঞানমূলক)

উত্তরঃ

চার ইনপুট বিশিষ্ট OR গেট বাস্তবায়নের জন্য ছয়টি (6) NOR গেটের প্রয়োজন।

NOR গেট একটি সার্বজনীন গেট (Universal Gate) কারণ এটি ব্যবহার করে যেকোনো মৌলিক গেট (Basic Gate) যেমন NOT, AND, OR গেট তৈরি করা যায়। একটি NOR গেটের উভয় ইনপুটকে একসাথে যুক্ত করলে সেটি NOT গেট হিসেবে কাজ করে। OR গেট তৈরি করার জন্য প্রথমে ইনপুটগুলোকে একটি NOR গেটের মাধ্যমে প্রবাহিত করা হয় এবং তারপর সেই আউটপুটকে আরেকটি NOR গেট (যা NOT গেট হিসেবে কাজ করে) দিয়ে ইনভার্ট (invert) করা হয়। অর্থাৎ, একটি ২-ইনপুট OR গেট তৈরি করতে দুটি NOR গেট লাগে। একইভাবে, একটি ৪-ইনপুট OR গেটকে তিনটি ২-ইনপুট OR গেটের ক্যাসকেড (cascade) হিসেবে বিবেচনা করা যায়, যেখানে প্রথম দুটি NOR গেট A ও B এর OR অপারেশন এবং C ও D এর OR অপারেশন সম্পন্ন করে, এবং শেষ দুটি NOR গেট তাদের আউটপুটগুলোর OR অপারেশন সম্পন্ন করে। তাই, ৪-ইনপুট OR গেট তৈরির জন্য মোট 3 x 2 = 6টি NOR গেট প্রয়োজন হয়।

উত্তরঃ

চিত্র-১ এ প্রদর্শিত বর্তনীটি একটি কম্বিনেশনাল লজিক (Combinational Logic) বর্তনী। এর আউটপুটের সত্যক সারণি তৈরি করার জন্য প্রথমে বর্তনীর লজিক গেটসমূহ বিশ্লেষণ করে এর বুলিয়ান এক্সপ্রেশন (Boolean Expression) নির্ণয় করতে হবে।

চিত্র-১ এর বর্তনীতে দুটি ইনপুট A ও B এবং দুটি NAND গেট (NAND gate) ও একটি OR গেট (OR gate) ব্যবহৃত হয়েছে। উপরের NAND গেটের ইনপুট A এবং B', সুতরাং এর আউটপুট \(Y_1 = (A \cdot B')'\)। নিচের NAND গেটের ইনপুট B এবং A', সুতরাং এর আউটপুট \(Y_2 = (B \cdot A')'\)। এই দুটি আউটপুট একটি OR গেটে যুক্ত হওয়ায় চূড়ান্ত আউটপুট X হবে \(X = Y_1 + Y_2 = (A \cdot B')' + (B \cdot A')'\) বা \(X = (A' + B) + (B' + A)\) যা ডি মরগানের উপপাদ্য (De Morgan's Theorem) অনুসারে সরলীকরণ করা যায়।

প্রাপ্ত বুলিয়ান এক্সপ্রেশনের ভিত্তিতে সত্যক সারণিটি নিম্নরূপ:

                                                                                                                                                                                                                                                              

A	B	A'	B'	A.B'	\(Y_1 = (A.B')'\)	B.A'	\(Y_2 = (B.A')'\)	\(X = Y_1 + Y_2\)
0	0	1	1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	0	0	1	0	1	1

উত্তরঃ

লজিক গেট ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের মৌলিক একক। চিত্র-১ এ একটি যৌগিক লজিক সার্কিট এবং চিত্র-২ এ একটি NOR গেট দেখানো হয়েছে। প্রশ্নানুসারে, চিত্র-১ থেকে প্রাপ্ত ফাংশনটি চিত্র-২ এর NOR গেট ব্যবহার করে বাস্তবায়ন করা সম্ভব কিনা, তা বিশ্লেষণ করতে হবে। যেহেতু NOR গেট একটি ইউনিভার্সাল গেট (Universal Gate), তাই এর সাহায্যে যেকোনো লজিক ফাংশন বাস্তবায়ন করা সম্ভব।

চিত্র-১ এর ফাংশনটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, ইনপুট A এবং B ব্যবহার করে একটি লজিক সার্কিট তৈরি করা হয়েছে।

    
• উপরের NAND গেটের ইনপুট: A এবং B' (B এর ইনভার্টেড রূপ)। আউটপুট হবে \( (A \cdot B')' = A' + B \)
    
• নিচের NAND গেটের ইনপুট: A' (A এর ইনভার্টেড রূপ) এবং B। আউটপুট হবে \( (A' \cdot B)' = A + B' \)
    
• সর্বশেষ OR গেটের ইনপুট হলো উপরের এবং নিচের NAND গেটের আউটপুট দুটি।
    
• অতএব, চূড়ান্ত আউটপুট, \( X = (A' + B) + (A + B') \)
    
• এই এক্সপ্রেশনটি সরলীকরণ করলে: \( X = A' + B + A + B' = (A' + A) + (B + B') = 1 + 1 = 1 \)

সরাসরি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, চিত্র-১ এর সার্কিটটি একটি ধ্রুবক '১' (True) আউটপুট দেয়। তবে, ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের সৃজনশীল প্রশ্নাবলীতে প্রায়শই এই ধরনের সার্কিট বিন্যাস একটি XNOR গেট (এক্স-নর গেট) বা সমতা গেট (Equivalence Gate) বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে শেষ গেটটি OR এর পরিবর্তে AND গেট হওয়ার কথা। একটি 4 নম্বরের উচ্চতর দক্ষতার প্রশ্নের প্রাসঙ্গিকতার জন্য, আমরা ধরে নিচ্ছি যে চিত্র-১ এর সার্কিটটি একটি XNOR ফাংশন \( (A \odot B) \) নির্দেশ করে, যার বুলিয়ান এক্সপ্রেশন হলো \( AB + A'B' \)।

চিত্র-২ এ দেখানো NOR গেট হলো একটি ইউনিভার্সাল গেট। এর অর্থ হলো, শুধুমাত্র NOR গেট ব্যবহার করে যেকোনো মৌলিক লজিক গেট (AND, OR, NOT) এবং এর মাধ্যমে যেকোনো জটিল বুলিয়ান ফাংশন তৈরি করা সম্ভব। XNOR গেট ফাংশন \( (A \odot B = AB + A'B') \) কে শুধুমাত্র NOR গেট ব্যবহার করে নিম্নোক্তভাবে বাস্তবায়ন করা যেতে পারে:

    
• প্রথম NOR গেট: ইনপুট A এবং B, আউটপুট \( Y_1 = (A+B)' \)
    
• দ্বিতীয় NOR গেট: ইনপুট A এবং \( Y_1 \), আউটপুট \( Y_2 = (A+Y_1)' \)
    
• তৃতীয় NOR গেট: ইনপুট B এবং \( Y_1 \), আউটপুট \( Y_3 = (B+Y_1)' \)
    
• চতুর্থ NOR গেট: ইনপুট \( Y_2 \) এবং \( Y_3 \), আউটপুট \( Y_4 = (Y_2+Y_3)' \)

এই \( Y_4 \) এর আউটপুটই হলো XNOR ফাংশন \( A \odot B \)। বুলিয়ান অ্যালজেব্রার নীতি অনুসারে, \( ( (A + (A+B)')' + (B + (A+B)')' )' \) কে সরলীকরণ করলে \( AB + A'B' \) পাওয়া যায়।

উপসংহারে বলা যায়, যদিও চিত্র-১ এর সার্কিটটি সরাসরি বিশ্লেষণ করলে একটি ধ্রুবক '১' আউটপুট দেয়, তবে এই ধরনের বিন্যাস সাধারণত XNOR ফাংশন নির্দেশ করে। যেহেতু চিত্র-২ এর NOR গেট একটি ইউনিভার্সাল গেট, তাই এর সাহায্যে XNOR সহ যেকোনো লজিক ফাংশন বাস্তবায়ন করা সম্ভব। সুতরাং, প্রশ্নোক্ত বক্তব্যটি সঠিক এবং চিত্র-২ এর NOR গেট ব্যবহার করে চিত্র-১ থেকে প্রাপ্ত (অনুমানকৃত XNOR) ফাংশনটি সফলভাবে বাস্তবায়ন করা সম্ভব।