ভূ-পৃষ্ঠ হতে 1200 km উচ্চতায় একটি 300 kg ভরের কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীকে প্রদক্ষিণ করছে। $(G = 6.673\times {10}^{-11}N{m}^{2}k{g}^{-2}, M = 6\times {10}^{24}kg,R= 6.4\times {10}^{6 }m, g = 9.8m{s}^{-2})$

মুক্তিবেগ হলো সর্বনিম্ন বেগ যা কোনো বস্তুকে কোনো মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র থেকে চিরতরে মুক্ত করতে পারে। এই মুক্তিবেগের মান বস্তুর ভরের উপর নির্ভরশীল নয়।

মুক্তিবেগের সূত্র হলো \(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\)। এখানে, \(G\) হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) হলো পৃথিবীর ভর এবং \(R\) হলো পৃথিবীর ব্যাসার্ধ। এই সূত্রে বস্তুর ভরের (m) কোনো পদ নেই। এই সূত্রটি মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি ও গতিশক্তির সমীকরণ থেকে প্রতিপাদন করা হয়, যেখানে বস্তুর ভর উভয় পক্ষ থেকে বাতিল হয়ে যায়। এই কারণেই মুক্তিবেগ বস্তুর ভর নির্বিশেষে একই থাকে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তনকাল নির্ণয়ের জন্য আমাদের পৃথিবীর ভর, মহাকর্ষীয় ধ্রুবক এবং উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ প্রয়োজন। ভূ-পৃষ্ঠ হতে কৃত্রিম উপগ্রহের উচ্চতা \(h = 1200 \text{ km} = 1.2 \times 10^6 \text{ m}\), পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}\), পৃথিবীর ভর \(M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}\) এবং মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2\text{kg}^{-2}\) দেওয়া আছে। প্রথমে, উপগ্রহের কক্ষপথের মোট ব্যাসার্ধ \(r\) নির্ণয় করতে হবে, যা পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবং উপগ্রহের উচ্চতার যোগফল।

উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, \(r = R + h = 6.4 \times 10^6 + 1.2 \times 10^6 = 7.6 \times 10^6 \text{ m}\)। এখন, কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তনকাল \(T\) নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করা হবে: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \] এখানে, \[ r^3 = (7.6 \times 10^6)^3 = 438.976 \times 10^{18} \] এবং \[ GM = (6.673 \times 10^{-11}) \times (6 \times 10^{24}) = 40.038 \times 10^{13} \] অতএব, \[ \frac{r^3}{GM} = \frac{438.976 \times 10^{18}}{40.038 \times 10^{13}} \approx 10.9638 \times 10^5 = 1.09638 \times 10^6 \] \[ \sqrt{\frac{r^3}{GM}} = \sqrt{1.09638 \times 10^6} \approx 1047.08 \text{ s} \] সুতরাং, \[ T = 2\pi \times 1047.08 \approx 2 \times 3.14159 \times 1047.08 \approx 6578.88 \text{ s} \] আবর্তনকালকে ঘণ্টায় প্রকাশ করলে: \[ T = \frac{6578.88}{3600} \text{ ঘণ্টা} \approx 1.827 \text{ ঘণ্টা} \]

উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, ভূ-পৃষ্ঠ হতে 1200 km উচ্চতায় পৃথিবীকে প্রদক্ষিণরত 300 kg ভরের কৃত্রিম উপগ্রহটির আবর্তনকাল প্রায় 6578.88 সেকেন্ড বা 1.827 ঘণ্টা। এই আবর্তনকাল কৃত্রিম উপগ্রহটির একটি পূর্ণ কক্ষপথ সম্পন্ন করতে প্রয়োজনীয় সময় নির্দেশ করে, যা এর কক্ষপথের ব্যাসার্ধ এবং পৃথিবীর ভরের উপর নির্ভরশীল।

একটি কৃত্রিম উপগ্রহকে মহাশূন্যে হারিয়ে যেতে হলে তাকে পৃথিবীর আকর্ষণ ক্ষেত্র থেকে মুক্ত হতে হবে। এর জন্য উপগ্রহটিকে তার কক্ষপথ থেকে মুক্তিবেগ অর্জন করতে হবে। মুক্তিবেগ হলো সেই ন্যূনতম বেগ যা কোনো বস্তুকে পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ থেকে সম্পূর্ণভাবে মুক্ত করতে সক্ষম। যদি উপগ্রহের বেগ তার কক্ষপথের মুক্তিবেগের চেয়ে বেশি হয়, তবে সেটি আর পৃথিবীর চারপাশে ঘুরবে না এবং মহাশূন্যে অসীম দূরত্বে চলে যাবে।

উদ্দীপক অনুসারে, কৃত্রিম উপগ্রহটি ভূ-পৃষ্ঠ হতে \(h = 1200 \, \text{km} = 1.2 \times 10^6 \, \text{m}\) উচ্চতায় পৃথিবীকে প্রদক্ষিণ করছে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6.4 \times 10^6 \, \text{m}\)। সুতরাং, উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ হবে \(r = R + h = (6.4 \times 10^6 + 1.2 \times 10^6) \, \text{m} = 7.6 \times 10^6 \, \text{m}\)।

ঐ উচ্চতায় উপগ্রহটির বর্তমান কক্ষীয় বেগ, \(v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}\) এখানে, \(G = 6.673 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2\text{kg}^{-2}\) এবং \(M = 6 \times 10^{24} \, \text{kg}\)। \(v_0 = \sqrt{\frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{7.6 \times 10^6}}\) \(v_0 = \sqrt{\frac{40.038 \times 10^{13}}{7.6 \times 10^6}}\) \(v_0 = \sqrt{5.268 \times 10^7} \approx 7258.9 \, \text{m/s} \approx 7.26 \, \text{km/s}\)

ঐ উচ্চতায় উপগ্রহটির মুক্তিবেগ, \(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\) আমরা জানি, \(v_e = \sqrt{2} \times v_0\) \(v_e = \sqrt{2} \times 7258.9 \, \text{m/s}\) \(v_e \approx 10265 \, \text{m/s} \approx 10.27 \, \text{km/s}\)

অতএব, কৃত্রিম উপগ্রহটিকে মহাশূন্যে হারিয়ে যেতে হলে তার বর্তমান কক্ষীয় বেগ \(7.26 \, \text{km/s}\) থেকে বাড়িয়ে কমপক্ষে \(10.27 \, \text{km/s}\) করতে হবে। এর জন্য উপগ্রহে স্থাপিত রকেট বা থ্রাস্টার (thruster) ব্যবহার করে তার গতিশক্তি বৃদ্ধি করতে হবে যাতে সেটি প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত বেগ ( \(10.27 - 7.26 = 3.01 \, \text{km/s}\) ) অর্জন করতে পারে। এই অতিরিক্ত গতিশক্তি অর্জন করতে পারলে উপগ্রহটি পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ কাটিয়ে মহাশূন্যে চলে যাবে এবং হারিয়ে যাবে।