মিনহাজ (3E)₁₆ এবং (65)₈ টাকা দিয়ে দুইটি বই ক্রয় করল।

ইউনিকোড হলো একটি আন্তর্জাতিক মানসম্মত অক্ষর এনকোডিং (character encoding) পদ্ধতি যা বিশ্বের প্রায় সকল ভাষার বর্ণকে কম্পিউটার ও অন্যান্য ইলেকট্রনিক ডিভাইসে ব্যবহার করার জন্য তৈরি করা হয়েছে। এটি প্রতিটি অক্ষরের জন্য কমপক্ষে ১৬ বিট ব্যবহার করে।

চার বিটের কোড হলো এমন একটি বাইনারি কোড যা দশমিক পদ্ধতির প্রতিটি অঙ্ক (0-9) কে চার বিট বাইনারি সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করে। এটি সাধারণত বাইনারি কোডেড ডেসিমেল (Binary Coded Decimal - BCD) পদ্ধতি নামে পরিচিত।

এই কোডিং পদ্ধতির মাধ্যমে দশমিক সংখ্যার প্রতিটি ডিজিটকে আলাদাভাবে তার চার বিটের বাইনারি সমতুল্য রূপে প্রকাশ করা হয়। এর প্রধান উদ্দেশ্য হলো কম্পিউটারে দশমিক সংখ্যাকে আরও সহজে উপস্থাপন ও প্রক্রিয়াকরণ করা। যেমন, দশমিক সংখ্যা 5 কে চার বিটের কোডে 0101 এবং 9 কে 1001 দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

উদ্দীপকে মিনহাজ কর্তৃক ক্রয়কৃত বইয়ের মূল্য যথাক্রমে হেক্সাডেসিমেল ও অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতিতে দেওয়া আছে। মিনহাজ মোট কত টাকার বই ক্রয় করল তা হেক্সাডেসিমেলে নির্ণয় করার জন্য প্রথমে সংখ্যা দুটিকে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করে যোগ করতে হবে।

প্রথমে সংখ্যা দুটিকে দশমিকে রূপান্তর করা হলো:

    
• \((3E)_{16}\) কে দশমিকে রূপান্তর:
    

\(3 \times 16^1 + E \times 16^0\)

    

\(= 3 \times 16 + 14 \times 1\) (যেখানে, \(E\) এর দশমিক মান \(14\))

    

\(= 48 + 14\)

    

\(= (62)_{10}\)

    
• \((65)_8\) কে দশমিকে রূপান্তর:
    

\(6 \times 8^1 + 5 \times 8^0\)

    

\(= 6 \times 8 + 5 \times 1\)

    

\(= 48 + 5\)

    

\(= (53)_{10}\)

সুতরাং, মিনহাজ মোট \((62 + 53)\)₁₀ = \((115)_{10}\) টাকার বই ক্রয় করল।

এবার প্রাপ্ত মোট মূল্য \((115)_{10}\) কে হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর করতে হবে। দশমিক সংখ্যাকে হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তরের জন্য দশমিক সংখ্যাটিকে 16 দিয়ে ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ নির্ণয় করতে হয়। প্রাপ্ত ভাগফলকে পুনরায় 16 দিয়ে ভাগ করে ভাগফল শূন্য না হওয়া পর্যন্ত এই প্রক্রিয়া চালিয়ে যেতে হয়। প্রাপ্ত ভাগশেষগুলোকে নিচ থেকে উপরের দিকে সাজিয়ে লিখলে হেক্সাডেসিমেল মান পাওয়া যায়।

\(115 \div 16 = 7\) ভাগশেষ \(3\)

\(7 \div 16 = 0\) ভাগশেষ \(7\)

ভাগশেষগুলোকে নিচ থেকে উপরে সাজিয়ে পাই \((73)_{16}\)।

অতএব, মিনহাজ মোট \((73)_{16}\) টাকার বই ক্রয় করল, যা হেক্সাডেসিমেলে প্রকাশ করা হয়েছে। ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতির মানগুলোকে একই সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করে যোগ করার মাধ্যমেই এ ধরনের গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা সম্ভব হয়।

সংখ্যা পদ্ধতির ধারণায় যোগের মাধ্যমে বিয়োগফল নির্ণয় করা সম্ভব। সাধারণত কম্পিউটার সিস্টেমে বিয়োগের কাজ সরাসরি সম্পন্ন না করে যোগের মাধ্যমে সম্পাদন করা হয়। এর জন্য 2's complement (২ এর পরিপূরক) পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়। এটি একটি কার্যকর পদ্ধতি যা ঋণাত্মক সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যায় রূপান্তর করে যোগের মাধ্যমে বিয়োগফল নির্ণয়ে সহায়তা করে।

উদ্দীপকে মিনহাজ দুটি বই ক্রয় করেছে, যার মূল্য যথাক্রমে (3E)₁₆ এবং (65)₈ টাকা। গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করার জন্য প্রথমে এই সংখ্যা দুটিকে দশমিক এবং পরবর্তীতে বাইনারি সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে।

প্রথম বইয়ের মূল্য (3E)₁₆:
\(3 \times 16^1 + E \times 16^0\)
\( = 3 \times 16 + 14 \times 1\)
\( = 48 + 14\)
\( = (62)_{10}\)
(62)₁₀ এর 8-বিট বাইনারি মান: \((00111110)_2\)

দ্বিতীয় বইয়ের মূল্য (65)₈:
\(6 \times 8^1 + 5 \times 8^0\)
\( = 6 \times 8 + 5 \times 1\)
\( = 48 + 5\)
\( = (53)_{10}\)
(53)₁₀ এর 8-বিট বাইনারি মান: \((00110101)_2\)

এখন, বই দুটির মূল্যের পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয়ের জন্য \(62 - 53\) করতে হবে। এর জন্য 2's complement (২ এর পরিপূরক) পদ্ধতি ব্যবহার করা যায়। এখানে বিয়োজ্য (53) এর 2's complement নির্ণয় করে বিয়োজকের (62) সাথে যোগ করা হবে।
বিয়োজ্য \((53)_{10} = (00110101)_2\)
বিয়োজ্য এর 1's complement (১ এর পরিপূরক) \((11001010)_2\)
বিয়োজ্য এর 2's complement (২ এর পরিপূরক) \((11001010)_2 + 1 = (11001011)_2\)

এখন, বিয়োজক (62) এর বাইনারি মানের সাথে বিয়োজ্যের 2's complement যোগ করা হবে:
      \(00111110\)   (62)₁₀
\(+\)   \(11001011\)   (53)₁₀ এর 2's complement
-------------------
\( (1) 00001001 \)
এখানে অষ্টম বিটের বাইরে একটি ক্যারি-আউট বিট (carry-out bit) 1 উৎপন্ন হয়েছে। যেহেতু ফলাফল ধনাত্মক, তাই এই ক্যারি-আউট বিটটি বাদ দিতে হবে।
অবশিষ্ট ফলাফল: \((00001001)_2\)
দশমিকে রূপান্তর: \(0 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)
\( = 0 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1\)
\( = (9)_{10}\)

উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, মিনহাজের ক্রয় করা বই দুটির মূল্যের পার্থক্য \((9)_{10}\) যা 2's complement পদ্ধতির মাধ্যমে যোগ করে নির্ণয় করা সম্ভব। সুতরাং, পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করা সম্ভব।