মিনা, রিনা ও টিনা একত্রে বই মেলায় গেল। মিনা ও রিনা যথাক্রমে (165)_৪ এবং (7A)₁₆ টাকার বই কিনল। টিনা বললো, আমি তোদের বইয়ের মূল্যের পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করতে পারব।

MSB এর পূর্ণরূপ হলো Most Significant Bit। এটি কোনো বাইনারি সংখ্যার সবচেয়ে বামের বিটকে নির্দেশ করে, যার স্থানীয় মান সর্বোচ্চ।

বাইনারি যোগ (Binary Addition) এবং বুলিয়ান যোগ (Boolean Addition) দুটি ভিন্ন গাণিতিক প্রক্রিয়া, যদিও উভয় ক্ষেত্রেই 0 এবং 1 ব্যবহার করা হয়। বাইনারি যোগ হলো সংখ্যা পদ্ধতির যোগ যেখানে ক্যারি (Carry) বা হাতে থাকা সংখ্যা যোগ হয়, যা সংখ্যার মান পরিবর্তন করে। অন্যদিকে, বুলিয়ান যোগ হলো একটি লজিক্যাল অপারেশন, যা OR গেট দ্বারা সম্পাদিত হয় এবং এতে ক্যারি বলে কিছু নেই।

বাইনারি যোগের ক্ষেত্রে, যখন 1 + 1 যোগ করা হয়, তখন ফলাফল 0 হয় এবং 1 ক্যারি হিসেবে পরবর্তী উচ্চতর স্থানে স্থানান্তরিত হয় (যেমন, 1 + 1 = 10₂)। এটি দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহৃত দশমিক যোগের (Decimal Addition) মতোই একটি সংখ্যাভিত্তিক প্রক্রিয়া। কিন্তু বুলিয়ান যোগ বা লজিক্যাল OR অপারেশনের ক্ষেত্রে, 1 + 1 = 1 হয়, কারণ এখানে এটি লজিক্যাল সত্য (True) বোঝায়। এখানে কোনো ক্যারি বিট (Carry Bit) তৈরি হয় না এবং এটি শুধুমাত্র লজিক্যাল ইনপুট অবস্থার উপর ভিত্তি করে একটি আউটপুট নির্ধারণ করে, যা ডিজিটাল সার্কিটে ব্যবহৃত হয়।

উদ্দীপকে মিনা (165)_৪ টাকার বই কিনেছিল। মিনার বইয়ের ক্রয়মূল্যকে দশমিক সংখ্যায় প্রকাশ করা হলো:

    \((165)_4 = 1 \times 4^2 + 6 \times 4^1 + 5 \times 4^0\)
    \(= 1 \times 16 + 6 \times 4 + 5 \times 1\)
    \(= 16 + 24 + 5\)
    \(= (45)_{10}\)
    সুতরাং, মিনার বইয়ের ক্রয়মূল্য দশমিক পদ্ধতিতে ৪৫ টাকা।

    অন্যদিকে, রিনা (7A)₁₆ টাকার বই কিনল। রিনার বইয়ের ক্রয়মূল্যকে অক্টাল সংখ্যায় প্রকাশ করতে প্রথমে এটিকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে:
    \((7A)_{16} = 7 \times 16^1 + A \times 16^0\)
    \(= 7 \times 16 + 10 \times 1\) (যেখানে A = 10)
    \(= 112 + 10\)
    \(= (122)_{10}\)
    সুতরাং, রিনার বইয়ের ক্রয়মূল্য দশমিক পদ্ধতিতে ১২২ টাকা।

    এখন, রিনার বইয়ের ক্রয়মূল্য ১২২ (দশমিক) কে অক্টাল সংখ্যায় রূপান্তর করা হলো:
    
    

উদ্দীপকে টিনা মিনা ও রিনার বইয়ের মূল্যের পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয়ের কথা বলেছেন। কম্পিউটারে বিয়োগ প্রক্রিয়া সরাসরি করা যায় না, বরং যোগের মাধ্যমে এটি সম্পন্ন করা হয়। সাধারণত, দুইয়ের পরিপূরক (2's complement) পদ্ধতি ব্যবহার করে ঋণাত্মক সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যার সাথে যোগ করে বিয়োগফল নির্ণয় করা হয়। টিনার এই উক্তিটি তথ্য ও যোগাযোগ প্রযুক্তির সংখ্যা পদ্ধতির অন্যতম একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণাকে নির্দেশ করে এবং এটি সম্পূর্ণরূপে যথার্থ।

প্রথমে, মিনা ও রিনার বইয়ের মূল্য দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে। তবে, উদ্দীপকে মিনার বইয়ের মূল্য (165)_৪ দেওয়া হয়েছে যা একটি ভুল সংখ্যা কারণ বেজ ৪ (Base 4) সিস্টেমে '৬' অঙ্কটি থাকতে পারে না। একটি সঠিক সমস্যা সমাধানের জন্য, মিনার বইয়ের মূল্য (123)_৪ ধরে নেওয়া হলো।

    
• মিনার বইয়ের মূল্য: \((123)_4 = 1 \times 4^2 + 2 \times 4^1 + 3 \times 4^0 = 1 \times 16 + 2 \times 4 + 3 \times 1 = 16 + 8 + 3 = 27_{10}\) টাকা।
    
• রিনার বইয়ের মূল্য: \((7A)_{16} = 7 \times 16^1 + A \times 16^0 = 7 \times 16 + 10 \times 1 = 112 + 10 = 122_{10}\) টাকা।

তাদের বইয়ের মূল্যের পার্থক্য হলো \(122_{10} - 27_{10} = 95_{10}\) টাকা। টিনা এই পার্থক্যটি যোগের মাধ্যমে বের করতে চান, যার অর্থ তাকে \(122_{10}\) এর সাথে \(27_{10}\) এর ঋণাত্মক মান (-27) যোগ করতে হবে। এর জন্য প্রথমে সংখ্যা দুটিকে বাইনারিতে রূপান্তর করে উপযুক্ত সংখ্যক বিটে (যেমন: ৮ বিট রেজিস্টার) প্রকাশ করতে হবে এবং ছোট সংখ্যাটির (এখানে 27) ২-এর পরিপূরক মান বের করতে হবে।

    
• \(122_{10}\) এর ৮-বিট বাইনারি: \(01111010_2\)
    
• \(27_{10}\) এর ৮-বিট বাইনারি: \(00011011_2\)
    
• \(27_{10}\) এর ১-এর পরিপূরক: \(11100100_2\) (বিট উল্টে)
    
• \(27_{10}\) এর ২-এর পরিপূরক: \(11100100_2 + 1 = 11100101_2\)

এখন, \(122_{10}\) এবং \(27_{10}\) এর ২-এর পরিপূরক মান যোগ করে পার্থক্য নির্ণয় করা হবে:

  01111010  (\(122_{10}\))
+  11100101  (\(-27_{10}\) এর ২-এর পরিপূরক)
----------
(1)01011111  (অতিরিক্ত ক্যারি বিট বাদ)

যোগফল থেকে অতিরিক্ত ক্যারি বিট (বাম দিকের ১) বাদ দিলে প্রাপ্ত মান হলো \(01011111_2\)। এই বাইনারি মানটিকে দশমিকে রূপান্তর করলে: \(0 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 95_{10}\)। এই মানটি পূর্বে নির্ণয়কৃত পার্থক্য (\(122 - 27 = 95\)) এর সমান। সুতরাং দেখা যাচ্ছে, ২-এর পরিপূরক পদ্ধতির মাধ্যমে যোগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে বিয়োগফল সফলভাবে নির্ণয় করা সম্ভব।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে এটি স্পষ্ট যে, কম্পিউটারে বিয়োগের কাজ সরাসরি না করে ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন করা হয়। টিনা এই পদ্ধতি সম্পর্কে অবগত ছিলেন বলেই এমন উক্তি করতে পেরেছেন। তার উক্তিটি তথ্য ও যোগাযোগ প্রযুক্তির মৌলিক ধারণার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এবং সম্পূর্ণরূপে যথার্থ।