মিলিত হবার পর পানির ফোঁটার ভরবেগের কী পরিবর্তন হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও। (উচ্চতর দক্ষতা)

দুটি পানির ফোঁটার মিলিত হয়ে একটি বড় ফোঁটায় পরিণত হওয়ার প্রক্রিয়াটি একটি অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ (inelastic collision) বা সংলগ্নতার (coalescence) উদাহরণ। পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক সূত্রানুসারে, যদি কোনো ব্যবস্থার (system) উপর বাইরে থেকে কোনো নিট বল (net external force) প্রযুক্ত না হয়, তবে সেই ব্যবস্থার মোট রৈখিক ভরবেগ (total linear momentum) সর্বদা সংরক্ষিত থাকে। এটিই ভরবেগের নিত্যতা সূত্র।

উদ্দীপকে দুটি পানির ফোঁটা একত্রিত হওয়ার কথা বলা হয়েছে, কিন্তু তাদের প্রাথমিক গতিবেগ সম্পর্কে কোনো তথ্য দেওয়া হয়নি। ভরবেগের পরিবর্তন নির্ণয় করতে হলে প্রাথমিক ও চূড়ান্ত ভরবেগ জানতে হয়, যার জন্য কণার ভর ও গতিবেগ উভয়ই প্রয়োজন। উদ্দীপকে কেবল ফোঁটার ব্যাসার্ধ (\(r = 5 \text{ µm}\)), পানির পৃষ্ঠটান (\(T = 0.074 \text{ Nm}^{-1}\)) এবং বাতাসের সান্দ্রতাঙ্ক (\(\eta = 1.84 \times 10^{-5} \text{ kgm}^{-1}\text{s}^{-1}\)) উল্লেখ করা হয়েছে, যা সরাসরি ভরবেগের পরিবর্তনের জন্য ব্যবহৃত হয় না যদি না গতিবেগের উপর এই রাশিগুলোর প্রভাব (যেমন: সান্দ্র বল) বিবেচনা করা হয়, যা এখানে সুনির্দিষ্টভাবে বলা হয়নি।

গাণিতিকভাবে, যদি দুটি ফোঁটাকে একটি একক ব্যবস্থা হিসেবে বিবেচনা করা হয় এবং তাদের একত্রিত হওয়ার সময় কোনো বাহ্যিক বল কাজ না করে (যেমন, মহাকর্ষ বল যদি উল্লম্ব গতি সৃষ্টি না করে বা পৃষ্ঠটান বল যদি অভ্যন্তরীণ হয়), তবে ব্যবস্থার মোট ভরবেগ সংরক্ষিত থাকবে। ধরা যাক, ছোট ফোঁটা দুটির ভর যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\) এবং তাদের প্রাথমিক গতিবেগ যথাক্রমে \(\vec{u_1}\) ও \(\vec{u_2}\)। মিলিত হওয়ার পর বড় ফোঁটার ভর \(M = m_1 + m_2\) এবং গতিবেগ \(\vec{V}\) হলে, ভরবেগের নিত্যতা সূত্রানুসারে:

\[ \vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final} \]

\[ m_1 \vec{u_1} + m_2 \vec{u_2} = (m_1 + m_2) \vec{V} \]

সুতরাং, ব্যবস্থার মোট ভরবেগের পরিবর্তন হবে:

\[ \Delta \vec{P}_{system} = \vec{P}_{final} - \vec{P}_{initial} = (m_1 + m_2) \vec{V} - (m_1 \vec{u_1} + m_2 \vec{u_2}) \]

যেহেতু ভরবেগের নিত্যতা সূত্রানুসারে \((m_1 \vec{u_1} + m_2 \vec{u_2}) = (m_1 + m_2) \vec{V}\), সেহেতু \(\Delta \vec{P}_{system} = 0\)।

অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী, যদি ফোঁটা দুটিকে একটি বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থা (isolated system) হিসেবে ধরা হয় এবং তাদের মিলিত হওয়ার সময় কোনো বাহ্যিক বল কাজ না করে, তবে মিলিত হওয়ার পর পানির ফোঁটার ব্যবস্থার মোট ভরবেগের কোনো পরিবর্তন হবে না। অর্থাৎ, মোট ভরবেগ অপরিবর্তিত থাকবে। যদি ফোঁটাগুলো প্রাথমিকভাবে স্থির থাকে, তবে তাদের মোট ভরবেগ শূন্য ছিল এবং মিলিত হওয়ার পরেও মোট ভরবেগ শূন্যই থাকবে। যদি প্রাথমিক অবস্থায় কোনো মোট ভরবেগ থাকে, তবে সেই মোট ভরবেগই মিলিত ফোঁটার থাকবে। উদ্দীপকে প্রদত্ত পৃষ্ঠটান এবং সান্দ্রতাঙ্ক ফোঁটার আকৃতি, অভ্যন্তরীণ চাপ বা তাদের গতির উপর বাতাসের বাধা (drag force) সম্পর্কিত হলেও, ভরবেগের নিত্যতার মূলনীতিতে সরাসরি প্রভাব ফেলে না যদি না তারা সিস্টেমের উপর বাহ্যিক বল হিসেবে কাজ করে।