যদি 4s(s - b) = 3ca হয় তবে $\angle B$ এর মান নির্ণয় কর।

প্রদত্ত শর্ত $\tan \beta = 4\cot \alpha$ কে $\tan \alpha \tan \beta =4$ আকারে প্রকাশ করা যায়। অতঃপর, প্রমাণ্য রাশি $\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha -\beta )}$ কে যৌগিক কোণের সূত্র ব্যবহার করে $\frac{1-\tan \alpha \tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$ রূপে লেখা যায়। এই রাশিতে $\tan \alpha \tan \beta$ এর মান $4$ বসিয়ে সরলীকরণ করলে $\frac{1-4}{1+4}=\frac{-3}{5}$ পাওয়া যায়, যা নির্ণেয় প্রমাণ।

এই সমস্যাটি সমাধান করতে ত্রিকোণমিতিক যৌগিক কোণের সূত্রাবলী (compound angle formulas) এর প্রয়োগ এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদ (trigonometric identities) এর ব্যবহার প্রয়োজন হয়। বিশেষত, $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ এবং $\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ সূত্র দুটি প্রয়োগ করে রাশিটিকে $\tan A\tan B$ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব হয় এবং প্রদত্ত শর্ত ব্যবহার করে প্রমাণটি সম্পন্ন করা হয়।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \(\pi\) (180°)।

সুতরাং, \(A+B+C = \pi\)

বামপক্ষ (LHS) = \(\sin(B+C-A)+\sin(C+A-B)+\sin(A+B-C)\)

যেহেতু, \(B+C = \pi - A\), \(C+A = \pi - B\), এবং \(A+B = \pi - C\)

অতএব,

\(\sin(B+C-A) = \sin(\pi - A - A) = \sin(\pi - 2A)\)

আমরা জানি, \(\sin(\pi - \theta) = \sin \theta\)।

সুতরাং, \(\sin(\pi - 2A) = \sin(2A)\)

একইভাবে,

\(\sin(C+A-B) = \sin(\pi - B - B) = \sin(\pi - 2B) = \sin(2B)\)

এবং,

\(\sin(A+B-C) = \sin(\pi - C - C) = \sin(\pi - 2C) = \sin(2C)\)

সুতরাং, বামপক্ষ = \(\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)\)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, \(\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C) = 4\sin A \sin B \sin C\)

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C\)

এবং, \(\Delta = \frac{abc}{4R}\), যেখানে \(R\) হলো পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ (Circumradius)।

এখান থেকে আমরা পাই, \(R = \frac{abc}{4\Delta}\)

সাইন সূত্রানুসারে, \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)

অতএব, \(\sin A = \frac{a}{2R}\), \(\sin B = \frac{b}{2R}\), \(\sin C = \frac{c}{2R}\)

এখন, \( \sin A = \frac{a}{2 \left(\frac{abc}{4\Delta}\right)} = \frac{a \cdot 4\Delta}{2abc} = \frac{2\Delta}{bc} \)

একইভাবে, \( \sin B = \frac{b}{2 \left(\frac{abc}{4\Delta}\right)} = \frac{b \cdot 4\Delta}{2abc} = \frac{2\Delta}{ac} \)

এবং, \( \sin C = \frac{c}{2 \left(\frac{abc}{4\Delta}\right)} = \frac{c \cdot 4\Delta}{2abc} = \frac{2\Delta}{ab} \)

সুতরাং, বামপক্ষ = \(4\sin A \sin B \sin C\)

\(= 4 \cdot \frac{2\Delta}{bc} \cdot \frac{2\Delta}{ac} \cdot \frac{2\Delta}{ab}\)

\(= 4 \cdot \frac{8\Delta^3}{a^2b^2c^2}\)

\(= \frac{32\Delta^3}{a^2b^2c^2}\)

এটি ডানপক্ষের (RHS) সমান।

সুতরাং, \(\sin(B+C-A)+\sin(C+A-B)+\sin(A+B-C) = \frac{32\Delta^3}{a^2b^2c^2}\) (দেখানো হলো)